Cours Nombre dérivé
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 + 4\), dérivable en \(- 1\) ; alors :

\(f '(-1) = 0\)

\(f '(-1) = 1\)

\(f '(-1) = -6\)

\(f '(-1) = 6\)

Quelle est la définition de \(f '(-1)\) ?


Effectue les calculs.


Dire que \(h\) se rapproche de \(0\) signifie que \(h\) prend des valeurs de plus en plus proches de \(0\). (\(0,1\) puis \(0,01\) puis \(0,000001\) etc.)

\(f(-1+h) = 3(-1 + h)^2 + 4 = 3(1 - 2h + h^2) + 4 = 3h^2 – 6h + 7\)
D'autre part :
\(f(-1) = 7\)


\(\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = \dfrac{3h^2 – 6h}{h}\normalsize = 3h – 6\)


Quand \(h\) se rapproche de \(0\) alors \(3h - 6\) se rapproche de \(- 6\) et donc \(f '(-1) = -6\).

Question 2

Soit la fonction \(f\) définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x} -1\), dérivable en \(9\) ; alors :

\(f '(9) = 1\)

\( f '(9) = \dfrac{ 1}{6}\)

\(f '(9) = 0\)

\(f '(9) =\dfrac{-1}{6}\)

Quelle est la définition de \(f '(9)\) ?


Effectue les calculs en pensant à l'expression conjuguée.


Pour rappel : l'expression conjuguée de \(\sqrt{(9 + h)}- 3\) est \(\sqrt{(9 + h)}+ 3\)


Dire que \(h\) se rapproche de \(0\) signifie que \(h\) prend des valeurs de plus en plus proches de \(0\). (\(0,1\) puis \(0,01\) puis \(0,000001\) etc.)

\(f(9+h) = \sqrt{(9 + h)} -1\)
\(f(9) = 2\)


\(\begin{align*}\dfrac{f(9+h)-f(9)}{h} &= \dfrac{\sqrt{(9 + h)}- 3}{h}\\ &= \dfrac{(\sqrt{(9 + h)}- 3)(\sqrt{(9 + h)}+ 3)}{h(\sqrt{(9 + h)+ 3})}\\ &= \dfrac{\sqrt{(9 + h)^2- 3^2}}{h(\sqrt{(9 + h)+ 3)}}\\ &= \dfrac{(9 + h- 9)}{h(\sqrt{(9 + h)}+ 3)}\\ &= \dfrac{h}{h(\sqrt{(9 + h)+ 3)}}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{(9 + h)}+ 3} \end{align*}\)


Quand \(h\) se rapproche de \(0\), alors \(\sqrt{9 + h}\) se rapproche de \(3\) et ainsi \(\dfrac{1}{9 + h}\normalsize+ 3\) se rapproche de \(\dfrac{1}{6}\).


\(f '(9) = \dfrac{1}{6}\)

Question 3

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x} +2\), dérivable en \(-1\) ; alors :

\( f '(-1) = -1\)

\( f '(-1) = 1\)

\( f '(-1) = 0\)

\( f '(-1) = \dfrac{1}{2}\)

Quelle est la définition de \(f '(-1)\) ?


Effectuer les calculs.


Dire que \(h\) se rapproche de \(0\) signifie que \(h\) prend des valeurs de plus en plus proches de \(0\). (\(0,1\) puis \(0,01\) puis \(0,000001\) etc.)

\(f(-1+h) = \dfrac{1}{-1+h} +2\)
\(f(-1) = 1\)


\(\begin{align*} \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} &= \frac{ \frac{-1}{1+h} +2 -1 }{ h} \\ &= \frac{ \frac{1}{-1+h} +1 }{ h}\\ &= \frac{\frac{h}{-1+h}}{h}\\ &= \frac{1}{-1+h}\\ \end{align*}\)


Quand \(h\) se rapproche de \(0\) alors \(-1 +h\) se rapproche de \(-1\) et \(\dfrac{1}{-1+h}\) de \(- 1\).


\(f '(-1) = - 1\)

Question 4

Dans un repère du plan on considère les trois droites tracées ci-dessous.


Le coefficient directeur de la droite \((d_1)\) est \(\dfrac{7}{5}\).

Le coefficient directeur de la droite \((d_1)\) est \(\dfrac{5}{7}\).

Le coefficient directeur de la droite \((d_2)\) est \(1\).

Le coefficient directeur de la droite \((d_3)\) est \(\dfrac{-1}{5}\).

Est-ce que toutes les droites ont un coefficient directeur ?


Si \(m\) est le coefficient directeur alors un vecteur directeur de la droite a pour coordonnées \((1 ; m)\).


Choisis un point de la droite et trace à partir de ce point un vecteur d'abscisse \(1\).


Lire alors la valeur de \(m\).


Si le vecteur de coordonnées \((1 ; m)\) est un vecteur directeur alors ceux de coordonnées \((10;10m)\) ou \( (-3;-3m)\) etc, sont aussi des vecteurs directeurs.

Le coefficient directeur de \((d_1)\) est \(m_1 = \large\frac{5}{7}\) et celui de \((d_3)\) est \(m_3 = - 3\).




Seules les droites non parallèles à l'axe des ordonnées ont un coefficient directeur. La droite \((d_2)\) n'en a donc pas. Son équation est \(x = -3\).

Question 5

A partir des renseignements portés sur la figure ci-dessous, donner les affirmations correctes :

La droite \((AB)\) a pour équation réduite : \(y = -1\)

La droite \((AB)\) a pour équation réduite : \(x = -1\)

La droite \((CD)\) a pour équation réduite : \(y =\dfrac{-4}{7}x + \dfrac{9}{7}\)

La droite \((CD)\) a pour équation réduite : \(y = \dfrac{-7}{4}x + \dfrac{9}{7}\)

L'équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe \((Ox)\) est du type \(y = mx + p\).


\(m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\) pour \(x_B \neq x_A\) et \(A\) et \(B\) deux points de la droite.


Un point appartient à une droite si ses coordonnées en vérifient l'équation.


\((AB)\) est parallèle à l'axe des abscices.

Equation de la droite \((AB)\) :
\((AB)\) est parallèle à l'axe des abscices. Son équation est \(y = - 1\).


Equation de la droite (CD) :
\(C(-3 ; 3)\) et \(D(4 ; - 1)\). Comme \(x_C \neq x_D\) la droite \((CD)\) a une équation du type \(y = mx + p\)
\(m =\dfrac{y_D – y_C}{x_D – x_C}\) soit \(m = \dfrac{– 4}{7}\) et \((CD)\) : \(y= \dfrac{– 4}{7}x + p\)
\(C \in (CD)\) donc \(y_C = \dfrac{– 4}{7}x_C + p\)
\( \Leftrightarrow 3 = \dfrac{– 4}{7} \times(-3) + p\)
\( \Leftrightarrow p = \dfrac{9}{7}\)
Conclusion : \((CD) : y = \large\frac{– 4}{7}x + \frac{9}{7}\).