Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées

 

Soit $u$ un fonction définie sur $I$, on s’intéresse aux variations de la fonction obtenue après transformation (addition, multiplication …).

 

1) la fonction $u + k, k \in mathbb{R}$. 

La fonction $u + k$ a les mêmes variations que la fonction $u$. 
Par exemple la fonction $x^2 + 3$ a les mêmes variations que la fonction $x^2$ : elle est décroissante pour $x$ négatif et croissante pour $x$ positif. 

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Ainsi, ajouter $k$ à une fonction $u$ revient à translater la courbe de la fonction $u$ de $k$ unités selon l’axe des ordonnées

 

2) la fonction $lambda u, \lambda \in mathbb{R}$

Si $lambda < 0$, les variations de $lambda u$ sont contraires à celles de $u$.

Si $lambda > 0$, les variations de $lambda u$ sont identiques à celles de $u$.

Par exemple, la fonction $sqrt{x}$ est croissante sur $mathbb{R}^+$. Ainsi, la fonction $-2sqrt{x}$ est décroissante sur $mathbb{R}^+$ car $-2 < 0$. 

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3) la fonction $sqrt{u}$

Si $u$ est positive, alors $u$ et $sqrt{u}$ ont le même sens de variations

Considérons la fonction $u(x) = x + 1$ définie et croissante sur $mathbb{R}$.

Pour pouvoir lui appliquer la fonction racine carrée, la fonction $u$ doit être positive.

Il faut donc se placer sur l’intervalle $[-1; + infty[$.

Sur cet intervalle, les fonctions $x + 1$ et $sqrt{x + 1}$ ont les mêmes variations : elles sont toutes deux croissantes. 

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4) la fonction $dfrac{1}{u}$

Si $u$ ne change pas de signe et \ne s’annule pas sur un intervalle, alors les fonctions $u$ et $dfrac{1}{u}$ ont des sens de variations contraires

Soit par exemple la fonction $u = 3x + 2$ croissante sur $mathbb{R}$.

Sur $]- infty; -dfrac{2}{3} [$, u est strictement négative et \ne s’annule pas, ainsi $dfrac{1}{3x + 2}$ est décroissante sur cet intervalle.

Sur $]-dfrac{2}{3}; +infty [$, u est strictement positive et \ne s’annule pas, ainsi $dfrac{1}{3x + 2}$ est décroissante sur cet intervalle.

 

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Exemple :

Soit $f$ la fonction définie par  $f(x) = dfrac{-2}{1 – x}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash {1}$. 

On cherche à déterminer les variations de $f$.

 

On pose $u = 1 – x$ définie sur $mathbb{R}$. $u$ est décroissante sur $mathbb{R}$. 

Or, si $u$ \ne change pas de signe et \ne s’annule pas sur un intervalle, alors les fonctions $u$ et $dfrac{1}{u}$ ont des sens de variations contraires. 

Ainsi, comme sur $]- infty; 1 [$, u est strictement positive et \ne s’annule pas, $dfrac{1}{1 – x}$ est croissante sur cet intervalle.

Et, sur $]1; + \infty [$, u étant strictement négative et \ne s’annulant pas, $dfrac{1}{1 – x}$ est croissante sur cet intervalle.

Or, $f(x) = -2 \times dfrac{1}{u}$. 

En outre, si $lambda < 0$, les variations de $lambda u$ sont contraires à celles de $u$.

Ainsi $f$ est décroissante sur $]- infty; 1 [$ et sur $]1; + \infty [$.

 

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