Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées

Soit $u$ un fonction définie sur $I$, on s’intéresse aux variations de la fonction obtenue après transformation (addition, multiplication …).

1) la fonction $u + k, \ k \in \mathbb{R}$. 

La fonction $u + k$ a les mêmes variations que la fonction $u$. 
Par exemple la fonction $x^2 + 3$ a les mêmes variations que la fonction $x^2$ : elle est décroissante pour $x$ négatif et croissante pour $x$ positif. 

Ainsi, ajouter $k$ à une fonction $u$ revient à translater la courbe de la fonction $u$ de $k$ unités selon l’axe des ordonnées. 

2) la fonction $\lambda u, \ \lambda \in \mathbb{R}$

Si $\lambda < 0$, les variations de $\lambda u$ sont contraires à celles de $u$.

Si $\lambda > 0$, les variations de $\lambda u$ sont identiques à celles de $u$.

Par exemple, la fonction $\sqrt{x}$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$. Ainsi, la fonction $-2\sqrt{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^+$ car $-2 < 0$. 

3) la fonction $\sqrt{u}$

Si $u$ est positive, alors $u$ et $\sqrt{u}$ ont le même sens de variations. 

Considérons la fonction $u(x) = x + 1$ définie et croissante sur $\mathbb{R}$.

Pour pouvoir lui appliquer la fonction racine carrée, la fonction $u$ doit être positive.

Il faut donc se placer sur l’intervalle $[-1; + \infty[$.

Sur cet intervalle, les fonctions $x + 1$ et $\sqrt{x + 1}$ ont les mêmes variations : elles sont toutes deux croissantes. 

4) la fonction $\dfrac{1}{u}$

Si $u$ ne change pas de signe et ne s’annule pas sur un intervalle, alors les fonctions $u$ et $\dfrac{1}{u}$ ont des sens de variations contraires. 

Soit par exemple la fonction $u = 3x + 2$ croissante sur $\mathbb{R}$.

Sur $]- \infty; -\dfrac{2}{3} [$, u est strictement négative et ne s’annule pas, ainsi $\dfrac{1}{3x + 2}$ est décroissante sur cet intervalle.

Sur $]-\dfrac{2}{3}; +\infty [$, u est strictement positive et ne s’annule pas, ainsi $\dfrac{1}{3x + 2}$ est décroissante sur cet intervalle.

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie par  $f(x) = \dfrac{-2}{1 – x}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}$. 

On cherche à déterminer les variations de $f$.

On pose $u = 1 – x$ définie sur $\mathbb{R}$. $u$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. 

Or, si $u$ ne change pas de signe et ne s’annule pas sur un intervalle, alors les fonctions $u$ et $\dfrac{1}{u}$ ont des sens de variations contraires. 

Ainsi, comme sur $]- \infty; 1 [$, u est strictement positive et ne s’annule pas, $\dfrac{1}{1 – x}$ est croissante sur cet intervalle.

Et, sur $]1; + \infty [$, u étant strictement négative et ne s’annulant pas, $\dfrac{1}{1 – x}$ est croissante sur cet intervalle.

Or, $f(x) = -2 \times \dfrac{1}{u}$. 

En outre, si $\lambda < 0$, les variations de $\lambda u$ sont contraires à celles de $u$.

Ainsi $f$ est décroissante sur $]- \infty; 1 [$ et sur $]1; + \infty [$.