Cours Variations des fonctions associées
Exercice d'application

Exercice : Fonctions associées, variations

 

1) Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=-x^2+4x+5$

   a) Mettre $u$ sous sa forme canonique.

   b) Etudier les variations de $u$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de $u$.

   c) Préciser les éléments caractéristiques de $C$, sa courbe représentative puis représenter $C$, dans un repère bien choisi.

 

2) Soit $v$ la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par $v(x)=-\dfrac{18}{x}$

   a) Etudier les variations de $v$ sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;+\infty[$.

   b) Dresser le tableau de variations de $v$ sur $\mathbb{R^*}$.

 

3) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par $f(x)=-x^2+4x+5-\dfrac{18}{x}$

  a) Etudier les variations de $f$ sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;2[$. 

  b) Dresser un tableau de variations sur $]-\infty ;0[ \cup ]0 ;2[$.

  c) Peut-on en déduire les variations sur $[2 ;+\infty[$.

1) a) 

$u(x)=-( x^2-4x-5)=-(\underline{x^2-4x+4}-4-5)$

$u(x)=-[ \underline{(x-2)^2}-4-5]$

Donc $u(x)=-(x-2)^2+9$

   b) Comme $u$ est une fonction du second degré avec $a=-1$ alors on sait que :

  • $u$ est croissante sur $\left]-\infty ;-\dfrac{b}{2a}\right]$
  • $u$ est décroissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a} ;+\infty\right[$

Or ici $-\dfrac{b}{2a}=2 $

Donc $u$ est croissante sur $]-\infty; 2]$ et $u$ est décroissante sur $[2 ;+\infty[$

 

tab6(595)

 

    c) Préciser les éléments caractéristiques de $C_u$ puis représenter $C_u$ dans un repère bien choisi.

courb6c(595)

$C_u$ est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas car $a<0$.

Son sommet est le point de coordonnée $(2 ;9)$ et elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation $x=2$. 

  

2) a) On sait que la fonction $x \longmapsto  \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$.

Donc la fonction $x \longmapsto -18 \times \dfrac{1}{x}$ est croissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$.

$v(x)=-\dfrac{18}{x}$ est donc croissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$

 

   b) 

tab7(595)

 

3) a) Sur $]-\infty ;0[$ :

  •  $u$ est croissante d'après la question 1b.
  • $v$ est croissante d'après la question 2a.

Donc $f=u+v$ est croissante sur $]-\infty ;0[$.

 

Sur $]0 ;2[$ :

  • $u$ est croissante d'après la question 1b
  • $v$ est croissante d'après la question 2a

Donc $f=u+v$ est croissante sur $]0;2[$. 

$f$ est donc croissante sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;2[$

 

     b) 

tab8(595)

 

     c) $u$ est décroissante sur $[2 ;+\infty[ $ et $v$ est croissante sur $[2 ;+\infty[ $ : le théorème du cours sur la somme ne permet pas de conclure car $u$ et $v$ n’ont pas le même sens de variations sur $[2 ;+\infty[ $.