Cours L'incontournable du chapitre

Exercice - Enquête de satisfaction

L'énoncé

Un hôtel-restaurant décide de réaliser une enquête de satisfaction sur un panel de 3 500 clients. Suite à cette enquête, on remarque que 60% des clients sont satisfaits des services proposés par l’hôtel-restaurant.

On assimile ces choix à des tirages successifs, étant donné le nombre de clients concernés.

On choisit 3 clients de l’hôtel au hasard parmi ceux interrogés.


Question 1

Déterminez la probabilité qu’on choisisse exactement un client satisfait.

Soit $X$ la variable aléatoire caractérisant le nombre de clients satisfaits parmi les 3 choisis.

Dans ce schéma de Bernoulli, les $3$ tirages sont indépendants donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,60.$

Le coefficient binomial \(\begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}\) vaut $3.$

$p(X=1) = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix} \times 0,6^1 \times (1-0,6)^2$

$p(X=1)=0,288$

$X$ est la variable à poser caractérisant le nombre de clients satisfaits parmi les 3 choisis. $X$ suit une loi binomiale.

Question 2

L’hôtel a remarqué que la critique qui revenait souvent était le manque de choix au niveau de la carte du restaurant. En faisant à nouveau une enquête de satisfaction, 80% des clients sont satisfaits désormais. Calculez la probabilité de choisir exactement un client satisfait.

Soit $X$ la variable aléatoire caractérisant le nombre de clients satisfaits parmi les 3 choisis.

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,80.$

Le coefficient binomial $\begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$ vaut toujours $3.$

$p(X=1) = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix} \times 0,8^1 \times (1-0,8)^2$

$p(X=1)=0,096$

Le nouveau paramètre $p$ vaut donc $0,8$ désormais.

Question 3

Déterminez la probabilité qu’on choisisse exactement 3 clients satisfaits.

Soit $X$ la variable aléatoire caractérisant le nombre de clients satisfaits parmi les 3 choisis.

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,80.$

Le coefficient binomial $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ vaut $1,$ d’après la propriété. En effet, tout coefficient binomial du type $\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$  vaut $1.$

$p(X=3) = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} \times 0,8^3 \times 0,2^0 $

$p(X=3) =0,512$

 

 

Le nouveau coefficient binomial est donc de $\begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix}.$ Souvenez-vous de la propriété associée !