Cours Colinéarité de vecteurs

Exercice - Vecteurs et géométrie

L'énoncé

On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points \(A(1 ;6), B(3 ;1)\) et \(C(-3 ;-2)\). Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

Question 1

Calculer les coordonnées du point \(I\) milieu du segment \([AC]\).

\(x_1= \dfrac{x_A+x_C}{2}\) et \(y_1= \dfrac{y_A+y_C}{2}\)

Donc \(x_1= \dfrac{1-3}{2} =\dfrac{-2}{2}= -1\) et

\(y_1= \dfrac{6-2}{2}=2\)

Ainsi : \(I(-1;2)\)

Formules à connaître par cœur :
\(x_1= \dfrac{x_A+x_C}{2}\) et \(y_1= \dfrac{y_A+y_C}{2}\)
Et attention, c’est bien un signe « + » !

Question 2

Calculer les coordonnées du point \(D\) symétrique de \(B\) par rapport à \(I\).

\(D\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(I \Leftrightarrow I\) est le milieu de \([BD]\).

On a donc \(x_1= \dfrac{x_B+x_D}{2}\) et \(y_1= \dfrac{y_B+y_D}{2}\)

Ainsi :

\(-1= \dfrac{3+x_D}{2}\) donc \(-2=3+x_D\) et \( x_D=-5\)

\(2= \dfrac{1+y_D}{2}\) donc \(4= 1+y_D\) et \( y_D=3\)

Conclusion : \(D(-5;3)\)

Commence par faire la construction de \(D\) : comment traduire « \(D\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(I\) » d’une autre manière ?
\(I\) est le milieu de \([BD]\) : à traduire sur les coordonnées.
\(x_D\) et \(y_D\) sont solutions de \(-1= \dfrac{3+x_D}{2}\) et \(2= \dfrac{1+y_D}{2}\)

Question 3

Soit \(N\) le milieu de \([AD]\). Calculer les coordonnées de \(N\).

\(x_N= \dfrac{x_A+x_D}{2}\) et \(y_N= \dfrac{y_A+y_D}{2}\)

Donc \(x_N= \dfrac{1-5}{2} = \dfrac{-4}{2} =-2\) et \(y_N= \dfrac{6+3}{2}= 4,5\)

\(N(-2;4,5)\)

Encore les formules sur le milieu : \(x_N= \dfrac{x_A+x_D}{2}\) et \(y_N= \dfrac{y_A+y_D}{2}\)

Question 4

Soit \(E\) le point défini par la relation \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AC}\).

Calculer les coordonnées de \(E\).

Les coordonnées de \(\overrightarrow{AE}\) sont  \( \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} x_E-1 \\y_E-6 \end{pmatrix}\)


Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont :

\( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3-1 \\ -2-6 \end{pmatrix}\) soit \( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \end{pmatrix}\)



Comme \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) on obtient :

\(\left\{ \begin{array}{left} x_E -1 = \dfrac{1}{3} \times (-4) \\ y_E -6 = \dfrac{1}{3} \times (-8) \end{array}\right. \)

On en déduit les coordonnées de \(E\) :

\(\left\{ \begin{array}{left} x_E = -\dfrac{4}{3} +1= -\dfrac{1}{3} \\ y_E = -\dfrac{8}{3}+6 =\dfrac{10}{3} \end{array}\right. \)


Conclusion : \(E\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}\right)\)

Écrire les coordonnées de \(\overrightarrow{AE}\) et les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\).
On arrive au système \(\left\{ \begin{array}{left} x_E -1 = \dfrac{1}{3} \times (-4) \\ y_E -6 = \dfrac{1}{3} \times (-8) \end{array}\right. \) puis on résout !

Question 5

Montrer que les points \(B,E\) et \(N\) sont alignés.



\( \overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} x_N-x_B \\ y_N-y_B \end{pmatrix}\) soit \( \overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} -2-3 \\ 4.5-1 \end{pmatrix}\) soit \( \overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} -5 \\ 3.5 \end{pmatrix}\)


\( \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} x_E-x_B \\ y_E-y_B \end{pmatrix}\) soit \( \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}-3\\ \dfrac{10}{3}-1 \end{pmatrix}\)

Soit \( \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -\dfrac{10}{3}\\ \dfrac{7}{3} \end{pmatrix}\)

On applique le critère de colinéarité sur les coordonnées :

\(-5\times \dfrac{7}{3} = -\dfrac{35}{3}\) et \(3,5\times -\dfrac{10}{3} = -\dfrac{35}{3}\)

Les deux produits sont bien égaux :

\(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BN}\) sont colinéaires et donc \(B,E\) et \(N\) sont alignés.

On montre que les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BN}\) sont ...
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BN}\), et utiliser le critère de colinéarité.