Cours Stage - La musique ou l'art de faire entendre des nombres

Exercice - Fréquence et gamme

L'énoncé

Il existe de nombreux types de gamme en musique. La gamme tempérée et la gamme pythagoricienne en font partie. La gamme pythagoricienne est composée de 12 notes et est construite à partir de la quinte de la fréquence précédente. Lorsque la fréquence sort de l’octave, on divise sa fréquence par deux. La gamme tempérée est constituée de 12 notes également mais leur fréquence est espacée du même intervalle $J = \sqrt{12}$.


Question 1

Déterminer les fréquences de la gamme complète de Pythagore. Remplir au brouillon le tableau ci-dessous (arrondir à l’unité) :

Note

Do3

Do#3

Ré3

Ré#3

Mi3

Fa3

Fa#3

Sol3

Sol#3

La3

La#3

Si3

Do4

Fréquence (Hz)

261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note

Do3

Do#3

Ré3

Ré#3

Mi3

Fa3

Fa#3

Sol3

Sol#3

La3

La#3

Si3

Do4

Fréquence (Hz)

261

280

294

315

331

355

373

392

420

441

473

497

522

On a le Do3 à 261 Hz qui correspond à la fréquence $f_1$. L’octave est donc à 522 Hz ($2f_1$).

$f_2 = \dfrac{3}{2}\times f_1 = \dfrac{3}{2}\times 261= 392 Hz$.

$f_3 = \dfrac{3}{2}\times f_2 = \dfrac{3}{2}\times 392 = 588Hz$. Cette troisième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_3 = 294Hz$.

$f_4 = \dfrac{3}{2}\times f_3 = \dfrac{3}{2}\times 294 = 441Hz$.

$f_5 = \dfrac{3}{2}\times f_4 = \dfrac{3}{2}\times 441 = 662Hz$. Cette cinquième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_5 = 331Hz$.

$f_6 = \dfrac{3}{2}\times f_5 = \dfrac{3}{2}\times 331 = 497Hz$.

$f_7 = \dfrac{3}{2}\times f_6 = \dfrac{3}{2}\times 497= 746Hz$. Cette septième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_7 = 373Hz$.

$f_8 = \dfrac{3}{2}\times f_7 = \dfrac{3}{2}\times 373= 560Hz$. Cette huitième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_8 = 280Hz$.

$f_9 = \dfrac{3}{2}\times f_8 = \dfrac{3}{2}\times 280= 420Hz$.

$f_10 = \dfrac{3}{2}\times f_9 = \dfrac{3}{2}\times 420= 630Hz$. Cette dixième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_10 = 315Hz$.

$f_11 = \dfrac{3}{2}\times f_10 = \dfrac{3}{2}\times 315= 473Hz$.

$f_12 = \dfrac{3}{2}\times f_11 = \dfrac{3}{2}\times 473 = 710Hz$. Cette douzième fréquence est au-dessus de l’octave puisque l’octave est à $2f_1 = 522Hz$. Donc on va diviser par deux la fréquence : $f_12 = 355Hz$.

On classe les fréquences par ordre croissant pour les associer aux notes du tableau : 261 – 280 - 294 – 315 - 331 – 355 – 373 - 392 – 420 – 441 – 473 – 497 – 522.

Attention ! Commencer par déterminer les fréquences puis classer les fréquences pour les associer aux bonnes notes.

Question 2

Déterminer la gamme complète de fréquences de la gamme tempérée en partant de la même fréquence. Remplir le tableau au brouillon (arrondir à l’unité) :

Note

Do3

Do#3

Ré3

Ré#3

Mi3

Fa3

Fa#3

Sol3

Sol#3

La3

La#3

Si3

Do4

Fréquence (Hz)

261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note

Do3

Do#3

Ré3

Ré#3

Mi3

Fa3

Fa#3

Sol3

Sol#3

La3

La#3

Si3

Do4

Fréquence (Hz)

261

277

293

310

328

348

369

391

414

439

465

493

522

On peut calculer de la même façon qu’à la question précédente les fréquences. Par exemple : $f_2 = J \times f_1 = \sqrt{12}\times 261 = 277Hz$.

Attention ! Commencer par déterminer les fréquences puis classer les fréquences pour les associer aux bonnes notes.

Question 3

Comparer la fréquence du La3 dans les deux gammes. Que remarque-t-on ?

On remarque que la fréquence du La3 dans la gamme pythagoricienne vaut 441 Hz alors qu’elle vaut 439 Hz dans la gamme tempérée.

Question 4

Calculer l’intervalle entre Do3, Ré3, Mi3 et Fa3 pour la gamme pythagoricienne. Que remarque-t-on par rapport aux intervalles de la gamme tempérée ?

Gamme pythagoricienne :

$J(Do3/Ré3) = \dfrac{294}{261} = 1,13$.

$J(Ré3/Mi3) = \dfrac{331}{294} = 1,13$.

$J(Mi3/Fa3) = \dfrac{355}{331}= 1,07$.

Les intervalles ne sont pas tous identiques entre les notes principales.

 

Gamme tempérée :

$J(Do3/Ré3) = \dfrac{293}{261} = 1,12$.

$J(Ré3/Mi3) = \dfrac{328}{293} = 1,12$.

$J(Mi3/Fa3) = \dfrac{368}{328}= 1,12$. 

Les intervalles sont tous identiques entre les notes principales.

On remarque que les intervalles entre les notes principales ne sont pas tous identiques dans la gamme pythagoricienne. En fait il s’agit des tons et demi-tons ! Dans la gamme tempérée, tous les intervalles sont égaux.

Question 5

Souvent, les musiciens possèdent ce que l’on appelle l’oreille absolue. Cela signifie que, sans référence préalable, ils peuvent déterminer le nom d’une ou plusieurs notes successives ou simultanées, même les notes très rapprochées ou brèves. Ils sont capables de distinguer des fréquences infimes, qui varient d’environ 1 Hz par rapport au La3 par exemple. On dit que le La3 doit avoir une fréquence de 440 Hz, par référence.

Par conséquent, une « oreille absolue » pourrait-t-elle entendre la particularité de la question précédente ?

Oui ! En effet, pour la gamme tempérée, le La3 est à 439 Hz. C’est vraiment juste mais il y a une différence de 1Hz et elle peut l’entendre ! De même pour la gamme pythagoricienne, avec le La3 à 441 Hz.