Cours Stage - Les cristaux

Exercice - Les structures cristallines

L'énoncé

Pour chacune des figures ci dessous, répondre aux questions suivantes :

a.

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b.

 


Question 1

Combien d'entité(s) possède chaque maille ?

a. $N=1$, car il y a 8 entités à chaque sommet et chaque entité par sommet est contenue dans 8 mailles différentes donc $N=8 \times \frac{1}{8}=1$ 

b. $N=4$, car on compte 1 pour les sommets et 3 pour les faces car il y a 6 entités sur les faces du cube et chaque entité est contenue dans 2 mailles différentes donc $N=1+6 \times \frac{1}{2}$

Il faut compter le nombre d'entités dans une maille et pondérer ce résultat par le nombre de mailles auquel appartient chaque entité.

Question 2

Que vaut la compacité de chaque maille ? 

Le rayon des entités est de $R=0.5 \times 10^{-10}m$ et la taille des arêtes est $a=2 \times 10^{-10}m$.

a. $N=1$ donc d'après la formule $C = \frac{N \times \frac{4}{3}\times \pi \times R^3}{a^3}$ on a $C= \frac{\frac{4}{3}\times \pi \times R^3}{a^3}$. En faisant l'application numérique on obtient : $C=0.07$.

b. De la même façon $N=4$ donc $C = \frac{4 \times \frac{4}{3}\times \pi \times R^3}{a^3}$. En faisant l'application numérique on obtient : $C=0.26$.

La compacité se calcule en utilisant la relation : $\frac{V_{occupé}}{V_{disponible}}$, et en considérant que chaque entité est une sphère de rayon $R$.

Question 3

Combien vaut la masse volumique de chaque maille ? 

On donne $N_a =6.022 \times 10^{23}$ et $M = 12g.mol^{-1}$.

a. Pour cette maille on a $N=1$ donc $\rho =\frac{M \times N }{N_a \times a^3}=\frac{12}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-10})^3}=2.5 \times 10^{6} g.m^{-3}$.

b. Pour cette maille on a $N=4$ donc avec la même méthode on obtient $\rho =\frac{M \times N }{N_a \times a^3}=\frac{4 \times 12}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-10})^3}=10.0 \times 10^{6} g.m^{-3}$.

Question 4

Question bonus : Calculer le nombre d'entité(s) dans cette maille : 

 

 

On obtient $N=2$ car les entités aux sommets comptent pour 1 (voir question 1) et l'entité au centre du cube compte pour 1 car il n'appartient qu'à une seule maille.