Simplifier avec des racines carrées

Simplifier avec des racines carrées

 

Afin de simplifier des expressions avec radical, on utilise les carrés “parfaits”, qui sont les carrés des nombres entiers.

carrés parfaits  4   9  16 25 36 49 64 81 100 121 144
racine carrée 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 

Il faut donc faire apparaitre un carré parfait le plus grand possible lors de la décomposition en produits du nombre dont on calcule la racine carrée, en utilisant la calculatrice pour le trouver.

 

Calculons par exemple $sqrt{48}$.

$sqrt{48} = \sqrt{3 \times 16}$.

Or la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines. Ainsi :

$sqrt{48} = \sqrt{3} \times sqrt{16}$. 16 étant un carré parfait, il est facile de connaitre sa racine carrée.

Donc, $sqrt{48} = 4 sqrt{3}$. 

 

Calculons de même $sqrt{75}$.

$sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} $

$sqrt{75}= \sqrt{25} \times \sqrt{3} $

$sqrt{75}= 5 sqrt{3}$. 

 

Ainsi, calculer $sqrt{48} + sqrt{75}$ est beaucoup plus facile.

On trouve $sqrt{48} + sqrt{75} = 4 \sqrt{3} + 5 sqrt{3} = 9 sqrt{3}$.

Racines carrées - Définition

Racines carrées – Définition 

 

1) Définition 

Pour tout nombre positif ou nul $a$, la racine carrée d’un nombre est le nombre qui élevé au carré vaut lui-même, ou encore

pour $a \geq 0$, ${(sqrt{a})}^2 = a$

Il faudra prêter attention au fait que la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas

 

Par exemple,

puisque $3^2 = 9$ alors $sqrt{9} = 3$.

De même, $7^2 = 49$ donc $sqrt{49} = 7$.

La raciné carrée des premiers carrés parfaits est à connaitre. Un carré parfait est le carré d’un entier. 

 

2) Propriété 

Pour tout réel $a$ positif ou nul et $b$ positif et non nul,

la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines : ainsi

$sqrt{a \times b} =  sqrt{a} \times sqrt{b}$.

Par exemple, $sqrt{18} = \sqrt{6 \times 3} = \sqrt{6} \times sqrt{3}$.

 

De même, la racine carrée d’une fraction est égale au rapport da la racine du numérateur par la racine du dénominateur :

$sqrt{dfrac{a}{b}} = dfrac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$

Par exemple $sqrt{dfrac{5}{3}} =  dfrac{sqrt{5}}{sqrt{3}}$

 

Ces propriétés sont fausses pour l’addition et la soustraction

En effet, $sqrt{25} = 5$. Or $25 = 16 + 9$ et $sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \neq 5$, donc

$sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + sqrt{b}$.