L’incontournable du chapitre

Rappel 3e : Fractions

Rappels 3e : Fractions

 

1) Somme, différence

 

Pour additionner deux fractions, ces dernières doivent avoir le même dénominateur et dans ce cas, il faut additionner les numérateurs
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tel que $b \neq 0$,

$dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$. 

 

Exemple : $1 + dfrac{2}{3}$.

Pour calculer cette somme, il faut se souvenir que $1 = dfrac{1}{1}$ ou encore en multipliant le numérateur et le dénominateur par 3 que $1 = dfrac{3}{3}$.

Ainsi $1 + \dfrac{2}{3} = dfrac{3}{3} + dfrac{2}{3} = dfrac{3 + 2}{3} = dfrac{5}{3}$. 

 

2) Produit 

 

Le produit de deux fractions \ne nécessite pas que les fractions aient le même dénominateur. Ce produit est égal au rapport du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.

Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$,

$dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$. 

 

Exemple : $dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} =  \dfrac{4 \times 2}{3 \times 5} =  dfrac{8}{15}$.

 

3) Quotient 

 

Lors du quotient de deux fractions, il faut multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.

Soient $a, b, c$ et $d$ tels que $b, c, d$ non nuls,

$dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times dfrac{d}{c}$

 

Exemple :

$dfrac{dfrac{3}{4}}{15} = dfrac{3}{4} times dfrac{1}{15}= dfrac{3}{4 \times 15} =dfrac{3}{4 \times 3 \times 5}= dfrac{1}{20}$.

 

4) Fraction d’un nombre

 

On souhaite par exemple calculer $dfrac{4}{5}$ de 250€ qui revient à calculer le produit des deux :

$dfrac{4}{5} \times 250 = 200$ €. 

Rappel 3e : Puissances

Rappel 3e : Puissances

 

1) Puissance de 10

 

Soit $n$ un entier naturel,

a) $10^n = 1underbrace{0…0}_{n \text{ zéros}}$

Par exemple $10^4 = 10000$: un 1 puis quatre 0.

 

b) $10^{-n} = 0,underbrace{0…01}_{n \text{ chiffres}}$

Par exemple $10^{-3} = 0,001$ : trois chiffres après la virgule.

Par convention $10^0 = 1$. 

 

2) Puissance d’un nombre 

 

Soit $a$ un réel non nul et $n$ un entier,

Par convention, $a^0 = 1$.

$a$ puissance $n$ est par définition $n$ fois le nombre $a$ : $a^n = underbrace{a \times a \times … \times a}_{n \text{ fois le nombre } a}$.

Par exemple, $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. 

 

Soient $m$ et $n$ des entiers relatifs,

 

a) $a^m \times a^n = a^{m + n}$

Par exemple, $2^4 \times 2^3 = 2^{4 + 3} = 2^7$.

 

b) $left ( a^m \right )^n = a ^{m \times n}$

Par exemple, $(5^4)^{-2} = 5^{4 \times (-2)} = 5^{-8}$.

 

c) $ dfrac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$

Par exemple, $dfrac{3^5}{3^{-7}} = 3^{5 – (-7)} = 3^{12}$.

 

d) $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ avec $b$ un réel

Par exemple $(5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2$. 

Simplifier avec des racines carrées

Simplifier avec des racines carrées

 

Afin de simplifier des expressions avec radical, on utilise les carrés “parfaits”, qui sont les carrés des nombres entiers.

carrés parfaits  4   9  16 25 36 49 64 81 100 121 144
racine carrée 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 

Il faut donc faire apparaitre un carré parfait le plus grand possible lors de la décomposition en produits du nombre dont on calcule la racine carrée, en utilisant la calculatrice pour le trouver.

 

Calculons par exemple $sqrt{48}$.

$sqrt{48} = \sqrt{3 \times 16}$.

Or la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines. Ainsi :

$sqrt{48} = \sqrt{3} \times sqrt{16}$. 16 étant un carré parfait, il est facile de connaitre sa racine carrée.

Donc, $sqrt{48} = 4 sqrt{3}$. 

 

Calculons de même $sqrt{75}$.

$sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} $

$sqrt{75}= \sqrt{25} \times \sqrt{3} $

$sqrt{75}= 5 sqrt{3}$. 

 

Ainsi, calculer $sqrt{48} + sqrt{75}$ est beaucoup plus facile.

On trouve $sqrt{48} + sqrt{75} = 4 \sqrt{3} + 5 sqrt{3} = 9 sqrt{3}$.