Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Vecteurs, coordonnées et distances

On considère les points $A (-6 ;-5)$, $B \left(9; \dfrac{5}{2}\right)$, $C (3 ;4)$, $D\left(\dfrac{19}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$ dans un plan rapporté à une repère orthonormé.

1) Placer les points $A, B, C, D$.

2) Soit $I$ le point tel que $\vec{AI}= \dfrac{4}{5} \vec{AB}$.

a) Justifier que le point $I$ a pour coordonnées $ (6 ;1)$

b) Placer le point $I$.

3) Soit $J$ le point tel

a) Montrer que $\vec{CJ} = \dfrac{1}{9} \vec{AC}$

b) Montrer que le point $J$ a pour coordonnées $(4 ;5)$

c) Placer le point $J$.

4) On considère le cercle ($\Gamma$) de diamètre $[IJ]$ ; on désigne par $K$ son centre et $R$ son rayon.

a) Déterminer les coordonnées du point $K$ et calculer le rayon $R$.

b) Les points $C$ et $D$ sont-ils sur le cercle ?

1) $A (-6 ;-5)$, $B\left(9; \dfrac{5}{2}\right)$, $C (3 ;4)$, $D\left(\dfrac{19}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$.

Soit $I$ le point tel que $\vec{AI}= \dfrac{4}{5} \vec{AB}$.

On a : $\dfrac{4}{5} \vec{AB} (12;6)$

$\vec{AI} (x_I+6;y_I+5)$  donc $x_I+6=12$ et $y_I+5=6$ soit  $x_I=6$ et $y_I=1$.

Finalement, $I(6;1)$.

 

 2) Soit $J$ le point tel que $\vec{JA}-10\vec{JC}= \vec{0}$

En utilisant la relation de Chasles :

$\vec{JA}+\vec{CA}  -10 \vec{JC}= \vec{0}$

$-9\vec{JC} +\vec{CA}  = \vec{0}$

Donc $-9\vec{JC} = \vec{AC} $ 

Ainsi : $\vec{CJ} = \dfrac{1}{9} \vec{AC} $ 

Calculons les coordonnées de $J$ :

$\vec{AC} (9 ;9)$  donc  $\dfrac{1}{9} \vec{AC} (1 ;1)$ 

$\vec{CJ} (x_J-3;y_J-4)$  donc $x_J-3=1$ et $y_J-4=1$ donc $x_J=4$ et $y_J=5$.

Finalement, $J(4;5)$.

 

  3) Le centre du centre de diamètre $[IJ]$ est $K\left( \dfrac{x_I+x_J}{2} ; \dfrac{y_I+y_J}{2}\right ) $

Après calculs, on a: $K(5 ;3)$

Le rayon du cercle est $R=KI= \sqrt{(x_I-x_K)^2+(y_I-y_K)^2}= \sqrt{5}$.

$C$ et $D$ sont-ils sur le cercle ? Pour le savoir, on calcule les distances $KC$ et $KD$ avec la formule précédente.

On trouve $KC= \sqrt{5}$ dons $C$ appartient au cercle.

$KD= \sqrt{\dfrac{41}{8}}$ donc  $D$ n’appartient pas au cercle.