Cours Stage - Notation valeur absolue, distance entre deux nombres réels

Exercice - Notation $| a |$ : distance entre deux nombres réels

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


Question 1

Soit $A(-3)$ et $B(\sqrt 5-1)$ deux points sur un axe gradué. Calculer la distance $AB$.

On a : 

$AB=\vert x_B-x_A \vert$

$AB=\vert \sqrt 5-1 -(-3)\vert$

$AB= \sqrt 5 + 2$

En géométrie une distance est toujours positive c'est pour cela qu'on utilise la valeur absolue.

Utiliser la valeur absolue.

Question 2

Soit $C(-3+\sqrt {18})$ et $D(3\sqrt 2-1)$ deux points sur un axe gradué. Calculer la distance $CD$.

 

On a : 

$CD=\vert x_D-x_C \vert$

$CD=\vert 3\sqrt 2-1 -(-3+\sqrt {18})\vert$

$CD=\vert 3\sqrt 2-1 +3-\sqrt {9\times 2})\vert$

$CD=\vert 3\sqrt 2-1 +3- 3\sqrt { 2})\vert$

$CD=2$

Utiliser la formule du cours utilisant la valeur absolue..


Simplifier $\sqrt{18}$

Question 3

A quelle condition un réel $x$ vérifie t-il les conditions suivantes :

 $\lvert x \lvert \leq 3$  et  $\lvert x \lvert \leq 10$

On veut simultanément que   $-3\leq x \leq 3$  et que $-10\leq x \leq 10$.

La première des deux conditions est plus contraignante donc :

Un réel $x$ vérifie  $\lvert x \lvert \leq 3$  et  $\lvert x \lvert \leq 10$ lorsque $-3\leq x \leq 3$.

Il y a deux conditions à vérifier simultanément.

Question 4

Traduire avec des valeurs absolues l'encadrement suivant : $12\leq x \leq 22$

L'amplitude de l'encadrement est $22-12=10$

On divise par deux cette amplitude et on obtient $5$

On remarque que $12\leq x \leq 22$ peut aussi s'écrire :

$ 17-5\leq x \leq 17+5$

D'après le cours, on en déduit que $\vert x-17\vert \leq 5$

On cherchera un réel situé à la même distance de $12$ et de $22$

Question 5

Traduire par un encadrement $\vert x+6\vert \leq 8$

On a : 

$\vert x+6\vert \leq 8$

$\iff \vert x-(-6)\vert \leq 8$

$\iff -6-8\leq x \leq -6+8$

$\iff -14\leq x\leq 2$

Remarquer que $x+6=x-(-6)$