Cours Stage - Modéliser une action sur un système

Exercice - La fusée Falcon 9

L'énoncé

La fusée Falcon 9 développée par le groupe SpaceX a l'étonnante capacité de pouvoir revenir sur Terre en atterrissant avec tous ses étages, et donc d'être réutilisable. Cette fusée a été utilisée plusieurs fois depuis 2017 afin de ravitailler la station spatiale internationale (SSI).

Cependant, si l'atterrissage du Falcon 9 s'effectue aujourd'hui sans encombre, cet exploit ne s'est pas fait sans de nombreux échecs auparavant et les crashs de plusieurs fusées. L'une des grandes difficultés en effet pour faire atterrir une fusée en entier, est la gestion de l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur cet objet particulièrement lourd.

Vidéo d'un atterrissage du Falcon 9 : https://www.youtube.com/watch?v=Vee5ShhA51k

 

Données :

Masse d'une fusée Falcon 9, mF : 538 tonnes.

Constante gravitationnelle, G : 6,67.10-11N.m².kg-2

Masse de la Terre, mT : 5,972.1024 kg.

Rayon de la Terre, RT : 6 371 km.

Hauteur de l'orbite de la station spatiale internationale (SSI) : 408 km.


Question 1

Calculer l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le Falcon 9 lorsqu'il est à la hauteur de la station spatiale internationale (SSI).

La distance entre le centre de la Terre et la SSI est :

$R_T+408=6371+408=6779 km = 6 779.10^3 m$

La masse en kg du Falcon 9 est :

$m_F=538 t=538.10^3kg$

 

Donc l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la fusée est :

 $F_{T/F}=G\times\dfrac{m_T\times m_F}{d^2}$

 $F_{T/F}=6,67.10^{-11}\times\dfrac{5,972.10^{24}\times 538.10^3}{(6779.10^3)^2}$

 $F_{T/F}=4,66.10^{6}N$

Il faut donc utiliser la formule de l'attraction gravitationnelle : 

$G\times\dfrac{m_A\times m_B}{d^2}$

Question 2

De combien est cette attraction gravitationnelle lorsque le Falcon 9 est à 1 kilomètre de la surface de la Terre ?

A 1km de la surface, la distance d du centre de la Terre à la fusée est :

$d=R_T+1=6371+1=6372 km=6372.10^3 m$

Donc, 

 $F_{T/F}=G\times\dfrac{m_T\times m_F}{d^2}$

 $F_{T/F}=6,67.10^{-11}\times\dfrac{5,972.10^{24}\times 538.10^3}{(6372.10^3)^2}$

$F_{T/F}=5,28.10^6N$

Question 3

Quelle est la valeur de l'attraction exercée par la Terre sur la fusée lorsqu'elle est à la surface ? En comparant au résultat de la question 2, qu'en conclure ?

On donne $g=9,81N.kg^{-1}$.

$P=m_F\times g$

$P=538.10^3\times 9,81$

$P=5,28.10^6N$

Donc, la valeur de la pesanteur de la fusée à la surface est presque la même que celle de l'attraction exercée par la Terre sur la fusée lorsqu'elle est à 1km d'altitude.

On parle de la surface de la Terre : il faut donc utiliser la formule du poids, et non plus de l'attraction gravitationnelle.


Soit $P=m\times g$.

Question 4

Lors de son atterrissage, 3 réacteurs sur les 9 de la fusée Falcon 9 fonctionnent afin de compenser l'attraction gravitationnelle et de permettre un atterrissage en douceur. Faire un schéma des forces qui s'exercent sur la fusée juste avant qu'elle ne touche le sol (on négligera les forces de frottement).

Si les forces se compensent, alors comment les deux vecteurs associés doivent être représentés ?


Lorsque deux forces se compensent, les vecteurs sont de même directeur, de même valeur (=même longueur) mais de sens opposés.

Question 5

Afin que l'atterrissage de la fusée sur la surface de la Terre s'opère en douceur, de quelle valeur en Newton devra être la poussé de chacun des trois réacteurs de la fusée ?

On sait qu'entre le niveau de la surface et 1km d'altitude au moins, l'attraction exercée par la Terre sur la fusée est de $5,28.10^6N$.

De plus, d'après le principe d'inertie, on sait que pour qu'un corps ne soit pas en mouvement, il faut que les forces qui s'exercent sur lui se compensent.

Juste avant l'impact avec le sol, il faut donc que la force libérée par les réacteurs, de sens opposé à celle du poids, approche de la valeur de la pesanteur de la fusée, soit de $5,28.10^6N$ au total.

Soit pour 1 réacteur :

$\dfrac{5,28.10^6}{3}=1,76.10^6N$.

 

Il faut utiliser le principe d'inertie, et calculer la force en Newton libérée par les réacteurs pour vérifier le principe.


Le principe d'inertie suppose que les forces qui s'exercent sur l'objet se compensent...

Question 6

Imaginons à présent que la fusée Falcon 9 arrive un jour sur la Lune. De quelle intensité en Newton la force libérée par chacun des 3 réacteurs devra s'approcher juste avant l'atterrissage sur la Lune, afin d'éviter le crash ?

On donne masse de la Lune m= 7,36.1022 kg ; et rayon de la Lune RL=1737 km.

On calcule l'intensité de l'attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la fusée, lorsque celle-ci est à peu près à la surface :

 $F_{L/F}=G\times\dfrac{m_L\times m_F}{d^2}$

 $F_{L/F}=6,67.10^{-11}\times\dfrac{7,36.10^{22}\times 538.10^3}{(1737.10^3)^2}$

 $F_{L/F}=8,75.10^5N$

 

D'où, afin que les forces se compensent, une force libérée par les trois réacteurs au total proche de $8,75.10^5N$.

Donc, pour 1 réacteur, il faudra $\dfrac{8,75.10^5}{3}=2,92.10^5N$.

Il faut donc d'abord calculer l'attraction gravitationnelle de la Lune sur la fusée.