Cours Stage - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Inégalité de Bienaymé Tchebychev 

 

Propriété :

 

Cette inégalité fut découverte par Bienaymé en 1856 puis popularisée par Tchebychev, grâce à l'utilisation de la loi des grands nombres.

Soit $X$ une variable aléatoire admettant comme espérance $\mu$ et comme variance $V$,

Pour tout $\epsilon > 0$, on a :

$P(|X - \mu|) \geq \epsilon ) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2}$

 

Interprétation

 

Cette inégalité permet de donner des minorations ou des majorations. On peut remarquer aussi que cette inégalité n'a du sens que lorsque $\epsilon > \sigma$ car sinon, cela revient à majorer $P(|X - \mu|) \geq \epsilon )$ par un nombre plus grand que 1 ce qui n'est pas utile car une probabilité est toujours inférieure à 1.

 

Exemple 1:

Le nombre de pièces sortant d'une usine en une journée est une variable aléatoire $X$ d'espérance $50$ et d'écart type $5$. Quelle est la probabilité que la production de demain dépasse $75$ pièces ?

On essaie d'estimer $P(X \geq 75)$ en se ramenant au cas de l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.

$P(X \geq 75) = P(X - 50 \geq 75 - 50) $

$P(X \geq 75) = P(X -

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.