Inégalité de concentration

Inégalité de concentration

Propriété :

Soit $(X_1, X_2, ..., X_n)$ un échantillon de variables aléatoires d'espérance $\mu$ et de variance $V$, et $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ la variable moyenne de cet échantillon,

Pour tout réel $\delta$ tel que $\delta > 0$,

$P(|M_n - \mu | \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

Or, $|M_n - \mu | \geq \delta \iff \left \{ \begin{array}{l} M_n \geq \mu + \delta  \\ M_n \leq \mu- \delta \end{array} \right. \iff M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ]$

Ainsi, $P(M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ]) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

Concrètement, plus $n$ est grand et donc plus la taille de l'échantillon est importante, plus l'écart de la moyenne à l'espérance va être petit.

La moyenne se concentre donc autour de l'espérance.

Exemple : 

100 personnes jouent indépendamment à un même jeu dont la variable aléatoire associée au gain en euros a pour espérance $11$ et variance $2$.

Donner une minoration de la probabilité que la moyenne des gains de ces 100 personnes soit comprise entre 9 et 13 euros.

On appelle $X_i$ pour $i$ entier entre $1$ et $100$ le gain du $i$-ème joueur.