Cours Inégalité de concentration
QCM
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L'énoncé

Cocher la bonne réponse.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Comment appelle-t-on $(X_1, X_2, ..., X_n)$ ?

Un échantillon de variables aléatoires

C'est la bonne réponse 

Un bouquet de variables aléatoires

Une multitude de variables aléatoires

Question 2

Comment note-t-on l'espérance des variables aléatoires ? 

$M_n$

$\mu$

C'est en effet la bonne réponse. 

V

Question 3

Les variables aléatoires ont-elles toutes la même espérance ? 

Oui

En effet, elles ont toutes la même espérance $\mu$. 

Non

Question 4

Comment appelle-t-on la variable $M_n = \dfrac{X_1+X_2 +...+X_n}{n}$ ? 

La variable Moment 

La variable Multiple 

La variable Moyenne

C'est en effet la moyenne des valeurs prises par les variables de l'échantillon.

Question 5

Quel est le bon énoncé de la propriété ? 

Pour tout réel $\delta$,
$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

Pour tout réel $\delta > 0$,
$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

C'est en effet la bonne propriété

Pour tout réel $\delta > 0$,
$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta}$

Question 6

Que vaut $P( M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ] )$ ?

$\dfrac{V}{n\delta^2}$

$P(|M_n-\mu|\leq \delta )$

$P(|M_n-\mu|\geq \delta )$

C'est la bonne réponse. 
En effet, $|M_n - \mu|\geq \delta  \iff M_n - \mu\geq \delta$ et  $M_n - \mu\leq -\delta \iff M_n \geq \mu + \delta$ et  $M_n \leq \mu -\delta \iff M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ] $

Question 7

Comment peut on réécrire l'inégalité ? 

$P( M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ] ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

C'est la bonne réponse ! 

$P( M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta ] ) \geq \dfrac{V}{n\delta^2}$

$P( M_n \in [\mu - \delta; \mu + \delta ] ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

Question 8

Plus $n$ est grand, plus 

$\mu$ est petit 

$\dfrac{V}{n\delta^2}$ est petit

En effet, si $n$ tend vers l'infini, alors $\dfrac{1}{n}$ tend vers 0.
Donc plus $n$ est grand plus $\dfrac{V}{n\delta^2}$ est petit car proche de 0. 

$\dfrac{V}{n\delta^2}$ est grand

Question 9

Plus l'échantillon est grand, 

plus la variable moyenne est proche de 0.

plus la variable moyenne est proche de la variance.

plus la variable moyenne est proche de l'espérance.

En effet, l'inégalité indique que la probabilité que l'écart de l'espérance à la variable moyenne soit plus grand que $\delta$ tend vers $0$ lorsque $n$ est grand. Ainsi, plus l'échantillon est important plus la probabilité que la variable moyenne soit éloignée de l'espérance est faible.

Question 10

Que permet l'inégalité de concentration ? 

D'obtenir des majorants ou des minorant de probabilité.

En effet, cela permet d'estimer une probabilité en donnant un majorant ou un minorant. 

On ne sait pas.

De trouver la valeur exacte d'une probabilité.