Cours Inégalité de concentration
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Soit $(X_1, X_2, ... X_n)$ un échantillon de variables aléatoires d'espérance $\mu$.

Quelle loi de probabilité doivent suivre les $X_i$ ?

Loi exponentielle 

Loi Binomiale 

Aucune hypothèse n'est faite 

En effet, l'inégalité de concentration, tout comme l'inégalité de Bienaymé Tchebychev, est générale et peut être appliquée à toute variable aléatoire. 

On pourra revoir la vidéo au besoin

Question 2

Quelle est la bonne formulation de l'inégalité de concentration ? 

Pour tout réel $\delta$ strictement positif,

$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

C'est la bonne inégalité.

Pour tout réel $\delta$ strictement positif,

$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$

Pour tout réel $\delta$,

$P(|M_n - \mu | \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$

$\delta$ ne peut être nul

On pourra revoir la vidéo.

Question 3

On note $X_i$ pour $i$ entier allant de 1 à 200 le poids de la $i$-ème personne dans la rue, de moyenne $75$ et de variance 5.

Donner la meilleur minoration de la probabilité que la moyenne des poids soit comprise entre 70 et 80 kg. 

0

$0,001$

$0,999$

En effet, on souhaite minorer la probabilité $P(M \in [70; 80])$.
$P(M \in [70; 80]) = P(|M-75] < 5) = 1 -P(|M-75] \geq 5)$
Or d'après l'inégalité de concentration, $P(|M-75] \geq 5) \leq \dfrac{V}{200\times 5^2} = 0,001$.
Ainsi $P(M \in [70; 80]) \geq 1 - 0,001 = 0,999$

On écrire le problème sous la forme $P(|M-75] < \delta)$, avec $\delta$ un réel qu'il s'agira de trouver.

Question 4

Soit $(X_1, X_2, ... X_n)$ un échantillon de variables aléatoires d'espérance $12$ et de variance $3$.

Que doit valoir $n$ au minimum pour que $P(|M_n - 12| > 2) \leq 0,005$ ? 

$150$

En effet, d'après l'inégalité de concentration, on sait que $P(|M_n - 12| < 2) \leq \dfrac{3}{n\times 2^2}$.
Or, on souhaite que $P(|M_n - 12| > 2) \leq 0,005$.
On doit donc résoudre $\dfrac{3}{n\times 2^2} \leq 0,005$.
Ainsi, $n \geq \dfrac{3}{0,005 \times 4} = 150$.
Finalement, $n$ doit être supérieur ou égal à $150$

$100$

$300$

On veut résoudre $\dfrac{V}{n\delta^2} \leq 0,005$. 

Question 5

Plus $n$ est grand, 

plus l'échantillon est important

En effet, $n$ régit la taille de l'échantillon

plus la moyenne $M_n$ se concentre autour de l'espérance

En effet plus $n$ est grand, plus $\dfrac{V}{n\delta^2}$ est petit et donc la probabilité que $M_n$ soit éloignée de l'intervalle [\mu - \delta, \mu + \delta]$ faible.

plus la moyenne $M_n$ se concentre autour de la variance

On pourra regarder le terme $\dfrac{V}{n\delta^2}$