Cours Stage - Loi des grands nombres

Loi faible des grands nombres

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Fiche de cours

Loi faible des grands nombres 

 

Propriété :


Soit $(X_1, X_2, ..., X_n)$ un échantillon de variables aléatoires d'espérance $\mu$,

On pose $M_n = \dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon,

Pour tout réel strictement positif $\delta$,

$\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$

soit $\lim \limits_{n \to +\infty} P(M_n \notin [\mu - \delta, \mu + \delta]) = 0$

ou encore

$\lim \limits_{n \to +\infty} P(M_n \in [\mu - \delta, \mu + \delta]) = 1$

(car $(M_n \in [\mu - \delta, \mu + \delta])$ est l'événement contraire de $(M_n \notin [\mu - \delta, \mu + \delta])$).

Plus la taille de l'échantillon est grande (et donc plus $n$ est grand), plus la probabilité que la moyenne empirique ne tende pas vers l'espérance de l'échantillon est faible.

 

Démonstration :

Soit $\delta > 0$,

D'après l'inégalité de concentration, $P(|M_n - \mu| > \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$.

Or $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{V}{n\delta^2} = 0$

En outre, une probabilité étant toujours positive, $P(|M_n - \mu| > \delta )  \geq 0$.

On vient donc de montrer que $P(|M_n - \mu| > \delta )$ est encadré par deux termes qui te

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