Cours Théorème des valeurs intermédiaires
Exercice d'application

Exercice : Théorème de valeurs intermédiaires

Déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ sur $[0;+\infty[$, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ à l’aide de la calculatrice. Pour cela :

a) Etudier la continuité de la fonction $f(x)=x^3 + 3x^2 - 1$ sur $[0;+\infty[$.

b) Etudier ses variations.

c) Résoudre $f(x)=0$ et conclure.

a) La fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=x^3 + 3x^2 - 1$ est continue sur son ensemble de définition comme fonction polynôme (ou comme somme de trois fonctions continues).

b) Etudions plus précisément $f$ sur $[0;+\infty[$ :

La fonction $f$ définie ainsi est strictement croissante de $[0;+\infty[$ sur $[-1;+\infty[$ (comme somme de deux fonctions croissantes)

De plus,  $f(0) = -1$ et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$

c) Comme $0 \in [-1;+\infty[$ (0 se trouve dans l'intervalle d'arrivée), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $0$ possède un unique antécédent.

$f(x) = 0$ possède donc une unique solution dans $[0;+\infty[$.

$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 3 > 0$ donc, d'après le T.V.I., la solution $\alpha$ se trouve dans $[0;1]$. 

En procédant de même et à l'aide de la calculatrice, on trouve l'encadrement $ \alpha \in ]0,53;0,54[$.