Cours Équations différentielles y' = f(x)

Équations différentielles, y'=f(x). Non unicité des primitives, démonstration.

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Fiche de cours

Équations différentielles $y' = f(x)$. Non unicité des primitives

 

Propriété

 

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

En d'autres termes, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$ quelconque, alors

$F = G + C$ où $C$ est une constante, ou encore $F - G = C$. 

 

Démonstration


On pose $H(x) = F(x) - G(x)$ pour $x \in I$

On veut démontrer que $H$ est une constante.

L'idée de la démonstration consiste à dériver $H$ car on connait la dérivée de $F$ et $G$ : $F' = G' = f$ par définition d'une primitive.

Soit $x \in I$,

$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$

Or la primitive d'une fonction nulle sur un intervalle est une constate.

Il existe donc $C \in \mathbb{R}$ tel que $H(x) = C$.

On vient donc de montrer que $F(x) - G(x) = C$ où $C$ est une constante réelle. 

 

Exemple


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$

Ainsi $F(x) = x^2$ est une primitive de $f$.

En outre, $G(x) = x^2 + 3$ est aussi une primitive de $f$.

De même, $H(x) = x^2 - 5$ en est une aussi.

Finalement, toutes les fonctions de la forme $T(x) = x^2 + C$ o&u

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