Cours Équations différentielles y' = f(x)
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Comment montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ ? 

$F$ est une primitive de $f$ si pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

$F$ est une primitive de $f$ si $F$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

C'est une définition.

$F$ est une primitive de $f$ si $F$ est solution de $y' = f$.

On pourra revoir la vidéo du cours au besoin.

Question 2

Soit $F$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$. De quelle fonction $F$ est-elle une primitive ? 

$f(x) = 4x^2 - 2x$

$F$ est dérivable pour tout $x \in \mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

En outre, soit $x \in \mathbb{R}$, $F'(x) = \dfrac{4}{3}\times 3x^{3-1} - 2x^{2-1} + 0 = 4x^2 - 2x$ 

$f(x) = \dfrac{4}{3}x^2 - x$

$f(x) = 4x - 2x + 56$

On pourra montrer que $F$ est dérivable...


...puis calculer sa dérivée.

Question 3

Donner la ou les fonctions solution(s) de l'équation $y' = 4x^2 - 2x$. 

$y = 12x - 2$

$y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$

On a montré à la question précédente que $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ était une primitive de $f(x) = 4x^2 - 2x$ donc $y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ est solution de l'équation différentielle $y' = 4x^3 - 2x$. 

$y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2$

On remarque que cette fonction est similaire à $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ : seule une constante les différencie. Or, la dérivée d'une constante est nulle. Donc la dérivée de $\dfrac{4}{3}x^3 - x^2$ est aussi $4x^2 - 2x$. Ainsi $y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2$ est aussi solution de l'équation différentielle.

On pourra trouver une primitive de $4x^2 - 2x$...


... et s'aider de la question précédente. 

Question 4

Que peut-on déduire de la question précédente ? 

Il existe une seule et unique solution à une équation différentielle. 

Si une équation différentielle admet une solution, alors il en existe une infinité. 

En effet, on a trouvé deux solutions à l'équation différentielle précédente, qui diffèrent d'une constante. 

La primitive est unique.

Combien de solutions a-t-on trouvé à l'équation précédente ? 

Question 5

Donner la ou les solutions de l'équation différentielle $y' = 3$. 

$3x$

En effet, on cherche une fonction dont la dérivée vaut $3$. Une de ces fonctions vaut donc $y = 3x$.

$3x - 2$

En effet, on cherche une fonction dont la dérivée vaut $3$. Une de ces fonctions vaut donc $y = 3x + 2$ car la dérivée d'une constante est nulle.

$3x^2 - 2$

On cherche des fonctions dont la dérivée vaut $3$...