Cours Variable aléatoire, espérance
QCM
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  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6

L'énoncé

On s’intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d’une boîte de vitesses automatique.
Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte.
L’usine se fournit auprès de deux sous-traitants S1 et S2.
Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % des pièces de type P2.
Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % des pièces de type P2.
Un employé de l’usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type.


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Question 1

Il tire une pièce au hasard.
La probabilité que ce soit une pièce P1 est :

0,8

0,5

0,2

0,6

0,4

Traduire la phrase : Il y a donc autant de pièces de chaque type.

On commence par traduire l’énoncé.
Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces P1 autrement dit sachant que les pièces sont de type P1 la probabilité que ces pièces sont produites par le sous-traitant S1 est de 80 % se traduit par :
\[P_{P_1}(S_1)=0,8\] De même : \[P_{P_1}(S_2)=0,2\] \[P_{P_2}(S_1)=0,4\] \[P_{P_2}(S_2)=0,6\] Il y a autant de pièces de chaque type donc : \[P(P_1) = 0,5\]

Question 2

La probabilité que ce soit une pièce P1 et quelle vienne de S1 est :

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Traduire l’énoncé en terme de probabilités.


On a le mot-clé ET, quelle formule utilise-t-on ?

La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu’elle vienne de S1 est :
On a le mot-clé et :
\[P(P_1 \cap S_1)=P_{P_1}(S_1)\times (P(P_1))=0,8\times 0,5=0,4\]

Question 3

La probabilité que la pièce vienne de S1 est :

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

Traduire l’énoncé en terme de probabilités.


On a qu’un seul événement, quelle formule de probabilité utilise-t-on ?

On cherche la probabilité que la pièce vienne de S1, on a qu’un seul événement et P1 et P2 forment une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales :
\[P(S_1)=P(S_1 \cap P_1)+P(S_1 \cap P_2)\] \[P(S_1)=P_{P_1}(S_1)\times P(P_1)+P_{P_2}(S_1)\times P(P_2)\] \[P(S_1)=0,8\times 0,5+0,4\times 0,5=0,6\]

Question 4

Il y a 200 pièces au total. Cette fois l'employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables.
Une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :

0,1588

0,2487

0,1683

0,0095

Combien y a t-il de pièces de type P1, de même pour P2 ?


Quel type de tirage a-t-on ?


Commencer par déterminer le nombre de possibilités de tirer deux pièces simultanément. Voir le rappel vidéo sur les tirages simultanés.

Il y a 200 pièces au total, il y autant de pièces de chaque type, donc on a 100 P1 et 100 P2.
Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément.
Le nombre de possibilité de tirer deux pièces simultanément sur 200 vaut \(\binom{200}{2}\).
Le nombre de possibilité de tirer deux pièces simultanément sur 100 pièces P1 vaut \(\binom{100}{2}\).
D’où la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :
\[P(P_1)=\frac{\binom{100}{2}}{\binom{200}{2}} \approx 0,2487\] Revoyez bien les vidéos sur les combinaisons et les tirages si ces questions ne sont pas claires.

Question 5

Une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est :

0,5000

0,2513

0,5025

On doit tirer simultanément deux pièces, on a le mot clé ET, quelle opération utilise-t-on ?


N’oubliez pas de diviser par le nombre de cas possible.

La probabilité que ce soit deux pièces, l’une P1 et l’autre P2, est :
Le nombre de possibilité de tirer simultanément une P1 et l’autre P2 vaut \(\begin{pmatrix}100\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}100\\1\end{pmatrix} \).
En effet on a le mot-clé donc et on utilise donc l’opération "multiplier".

\(P(P1\cap P2)=\large\frac{\begin{pmatrix}100\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}100\\1\end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix}200\\2 \end{pmatrix} }\normalsize\approx0,5025\)

Question 6

La probabilité \(P'\)que les deux pièces soient fabriquées par le même fournisseur est :

    • \(\frac{357}{995}\)

 

    • \(\frac{103}{199}\)

 

  • \(\frac{158}{995}\)

\(\frac{357}{995}\)

\(\frac{103}{199}\)

\(\frac{158}{995}\)

En utilisant la question 3, déterminer le nombre de pièce de S1, de même pour S2.


On doit tirer simultanément deux pièces, on a le mot clé ET, quelle opération utilise-t-on ?


Traduire la phrase « les deux pièces sont fabriquées par le même fournisseur », quelles sont les possibilités?
ensuite, on a le mot clé OU, quelle opération utilise-t-on ?


N’oublier pas de diviser par le nombre de cas possible.

D’après la question 3, \(P(S_1)=0,6\).
Il y a donc 0,6 × 200 = 120 pièces fabriquées par le sous-traitant S1 et donc 200 - 120 = 80 pièces fabriquées par S2.
La probabilité que les deux pièces choisies soient fabriquées par le même fournisseur est :
\(P' = P\)(2 pièces de S1 ou 2 pièces de S2) \[P'= \frac{\binom{120}{2}}{\binom{200}{2}}+\frac{\binom{80}{2}}{\binom{200}{2}}\approx \frac{103}{199}\]