Cours Fonctions convexes, concaves
Exercice d'application

Exercice : Convexité

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 −9x^2 +4.$

Etudier la convexité de la fonction $f$.

Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,on a $f '(x)=x^2 −18x$. Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,on a $f ''(x)=2x−18$ qui s’annule en $x=9$.

Pour tout $x≤9, f''(x)≤0$.

Pour tout $x≥9, f''(x)≥0$.

$f '$ est donc strictement décroissante sur $]−∞ ; 9]$ et donc $f$ est concave sur $]−∞ ; 9]$.

$f '$ est donc strictement croissante sur $[9 ; + ∞[$ et donc $f$ est convexe sur $[9 ; + ∞[$.