Cours Stage - Convexité de fonctions

Exercice - Coût total et coût moyen

L'énoncé

Le coût, en euro, de \(x\) bouquets réalisés par un fleuriste est exprimé par la fonction suivante :

\(C(x) = 0,1x^2 - x +490\) pour \(x\) réel positif.

Soit \(CM(x)\) le coût moyen de \(x\) bouquets en euro par bouquet.


Question 1

Étudier le sens de variation de \(C\) sur \([0 ; +\infty]\).

\(C'(x) = 0,2x-1\)
\(0,2x -1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq5\)

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Avez-vous dérivé \(C\) ?


Saivez-vous dresser un tableau de variation ? Sinon, regardez la vidéo.

Question 2

Exprimer le coût moyen \(CM(x)\) par bouquet en fonction de \(x\).

\(CM(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{0,1x^2 -x+490}{x} \)

Sais-tu ce qu’est le coût moyen par rapport au coût total ?


Le coût total \(CM(x)\) est égal au coût total de production divisé par le nombre de produits fabriqués :

\(CM(x) = \dfrac{C(x)}{x}\)

Question 3

Étudier le sens de variation de \(CM\).

\(CM'(x) = \dfrac{(0,2x-1)x-(0,1x^2-x+490)}{x^2} = \dfrac{0,1x^2 -490}{x^2} \)

\(0,1x^2-490 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \geq 4900\)

Donc sur \([0; +\infty]\), \(x \geq 70\)

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Avez-vous dérivé \(CM(x)\) ?


Avant de dresser le tableau de variations, il faut résoudre une équation du second degré pour trouver la valeur de \(x\) telle que \(CM(x) = 0\). Regardez l’ensemble de définition pour conclure.

Question 4

Quel est le nombre de bouquets à réaliser pour que le coût moyen par bouquet soit minimal ?

Daprès le tableau de variation précédent, \(CM\) admet un minimum pour \(x=70\). Il faut donc réaliser 70 bouquets pour que le coût moyen par bouquet soit minimum.

Il suffit de regarder le tableau de variation. La fonction \(CM\) admet-elle un minimum ?