Cours Nombres premiers
Exercice d'application

Exercices : Nombres premiers

Soit $p$ un entier premier. Montrer que si $p \geq 5$ alors 24 divise $p^2-1$.

Soit donc $p$ entier premier avec  $p \geq 5$.

Tout d'abord on remarque que $24=2^3 \times 3$.

De plus, $p^2-1=(p-1)(p+1)$.

Or $p$ est un nombre premier avec  $p \geq 5$ donc $p$ est impair ainsi $p-1$ et $p+1$ sont des entiers pairs consécutifs. Ainsi il existe $k$ un entier tel que :

$p-1=2k$

$p+1=2(k+1)$

$\Rightarrow p^2-1=2k \times 2(k+1)$

            $=2^2k(k+1)$

Or $k$ et $k+1$ sont deux entiers consécutifs donc l'un d'entre eux est un entier pair et ainsi on peut écrire : $k(k+1)=2q$ avec $q$ un entier.

Et ainsi $p^2-1=2^3q$ et $2^3$ divise $p^2-1$

 

Montrons maintenant que $p^2-1$ est divisible par 3.

$p \geq 5$ donc en réalisant une division euclidienne de $p$ par 3 il vient :

$p=3u+r$ avec $r$ non nul puisque $p$ est premier donc $r=1$ ou $r=2$

Cas 1 : $r=1$ alors il vient immédiatement que $p-1\vert 3$

Cas 2 : $r=2$ alors $p+1\vert 3$

On déduit donc que $p^2-1$ est divisible par 3.

 

On a donc montré que $p^2-1$ est divisible par $2^3$ et par 3.

Comme ces deux nombres sont premiers entre eux alors d'après le corollaire du théorème de Gauss, $p^2-1$ est divisible par le produit de ces deux entiers c'est à dire $24$.