Cours Factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Comment s'écrit la factorisation de $a^n-b^n$ ?

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

C'est une propriété du cours

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

Question 2

Quelles égalités sont vraies pour $n=3$ ?

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+2ab)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)$

Ou encore : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3-b^3=a(a^2+ab+b^2)-b(b^2+ab+a^2)$

On peut développer pour s'en convaincre.

$a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$

On peut réduire l'expression.

Question 3

Si $n$ est impair, comment écrire la relation $a^n+b^n$ ?

$(a+b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;(-b)^{k-1}$

$(a+b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;(-b)^{k-1}$

Question 4

A quoi est égal $a^4-b^4$ ?

$(a^2+b^2)(a^2-b^2)$

On utilise là une égalité remarquable. 

$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$

On peut développer pour s'en convaincre.

$(a-b)(a^3+a^2b-ab^2-b^3)$

$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

C'est une application de la formule du cours.

Question 5

Application : effectuer le calcul pour $7^3-5^3$ (tout faire à la main).

$218$

$7^3-5^3 = (7-5)(7^2+7\times 5+5^2) $

$7^3-5^3 = 2(49+35+25)$

$7^3-5^3 =2\times 109 =218$

$180$

$280$