Cours Stage - Mouvement d'un satellite autour d'une planète

Exercice - Lois de Newton et lois de Kepler

L'énoncé

La planète Pluton, découverte par l’américain Clyde Tombaugh en 1930 était considérée comme la neuvième planète de notre système solaire. Le 5 janvier 2005, une équipe d’astronomes a découvert sur des photographies prises le 21 octobre 2003 un nouveau corps gravitant autour du Soleil. Provisoirement nommé 2003 UB313, cet astre porte maintenant le nom d’Éris du nom de la déesse grecque de la discorde. La découverte d’Éris et d’autres astres similaires (2003 EL. 61, 2005 FY9...) a été le début de nombreuses discussions et controverses acharnées entre scientifiques sur la définition même du mot « planète ».
Au cours d’une assemblée générale, le 24 août 2006 à Prague, 2500 astronomes de l’Union Astronomique Internationale (UAI) ont décidé à main levée de déclasser Pluton comme planète pour lui donner le rang de « planète naine » en compagnie d’Éris et de Cérès (gros astéroïde situé entre Mars et Jupiter).
Éris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une période de révolution TE valant environ 557 années terrestres.

Données :

  • Période de révolution terrestre : TT = 1,00 an
  • Période de révolution de Pluton : TP = 248 ans

Question 1

Énoncer précisément la troisième loi de Kepler, relative à la période de révolution d'une planète autour du Soleil, dans le cas d'une orbite elliptique.

Le carré de la période de révolution \(T\) d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe a de l'orbite elliptique :

\(\dfrac{T^2}{a^3} = constante\)

La période de révolution d’une planète notée \(T\) est la durée mise par une planète pour effectuer le tour du Soleil.


Une orbite elliptique possède 2 axes :

  • Le grand axe (horizontal).
  • Le petit axe (vertical).

Question 2

L'orbite d'Éris se situe-t-elle au-delà ou en-deçà de celle de Pluton ? Justifier sans calcul.

Appliquons la troisième loi de Kepler à Pluton (repéré par P) et Éris (repérée par E) évoluant autour du Soleil :

\(\dfrac{T^2_E}{a^3_E} = constante = \dfrac{T^2_P}{a^3_P} \)

Donc \(\dfrac{T^2_E}{a^3_E} = \dfrac{T^2_P}{a^3_P} \)

Si on place dans la même fraction les périodes \(T\) et dans l'autre fraction les longueurs a, on obtient :

\(\dfrac{a^3_E}{a^3_P} = \dfrac{T^2_E}{T^2_P} \ \) (1)

Or TE (= 557 ans) > TP (= 248 ans) donc \(\dfrac{T^2_E}{T^2_P} > 1\)

Alors d'après (1) on a aussi \(\dfrac{a^3_E}{a^3_P} > 1\)

Ce qui donne \(a^3_E > a^3_P\)

Il faut donc finalement que aE > aP.
L'orbite d'Éris se situe au-delà de celle de Pluton.

On cherche à comparer la distance Soleil-Éris et la distance Soleil-Pluton.


Une planète tourne autour du Soleil sur une orbite elliptique dont le Soleil est l’un des deux foyers. Le grand axe de cette ellipse a pour mesure 2a.


Il faut utiliser la 3ème loi de Kepler appelée la loi des périodes afin de comparer aE et aP.

Question 3

Les astronomes ont découvert ensuite qu'Éris possède un satellite naturel qui a été baptisé Dysnomia (fille d'Éris et déesse de l'anarchie). Six nuits d'observation depuis la Terre ont permis de reconstituer l'orbite de Dysnomia. On obtient la photographie ci-dessous. Le mouvement de Dysnomia autour d'Éris est supposé circulaire et uniforme.

Données : ME et MD sont les masses respectives d'Éris et de Dysnomia.
Masse de Pluton : $M_P = 1,31 \times 10^{22}$ kg
Rayon de l'orbite circulaire de Dysnomia : $R_D = 3,60 \times 10^7$ m
Période de révolution de Dysnomia : $T_D = 15,0$ jours $\approx\ 1,30 \times 10^6$ s
Constante de gravitation universelle : $G = 6,67 \times 10^{-11} m^3.kg^{-1}.s^{-2}$

Définir le référentiel permettant d'étudier le mouvement de Dysnomia autour d'Éris. Par la suite, ce référentiel sera considéré comme galiléen.

On utilisera un référentiel constitué par le centre d'inertie d'Éris et par trois étoiles lointaines et fixes. On pourrait parler de référentiel « ériscentrique ». Ce référentiel est considéré comme galiléen : c'est un référentiel où les lois de Newton peuvent être appliquées.

Un référentiel est un objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un autre objet.


Repérer par rapport à quoi on souhaite étudier le mouvement de Dysnomia.

Question 4

Établir l'expression du vecteur accélération \(\overrightarrow{a} \) du centre d'inertie de Dysnomia en fonction des paramètres de l'énoncé et d'un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}_{ED} \) représenté sur le schéma ci-dessous.

Considérons le mouvement circulaire uniforme de Dysnomia dans le référentiel « ériscentrique ».
Le satellite Dysnomia est soumis à une unique force d'attraction gravitationnelle exercée par Éris, cette force peut être notée : \(\overrightarrow{F _{E \rightarrow D}} \)

Dans le repère, elle s'écrit :

\( \overrightarrow{F _{E \rightarrow D}}= - \dfrac{G.M_E.M_D}{R^2_D} \overrightarrow{u_{ED}}\)

Où RD est le rayon de son orbite autour d'Éris.

Appliquons la deuxième loi de Newton à Dysnomia :

\(\overrightarrow{F _{E \rightarrow D}} = M_D.\overrightarrow{a} \)

\(-G. \dfrac{M_E.M_D}{R^2_D}.\overrightarrow{u}_{ED} = M_D.\overrightarrow{a} \)

Donc \(\overrightarrow{a} = -G. \dfrac{M_E}{R^2_D}.\overrightarrow{u}_{ED}\)

Faire le bilan des forces qui agissent sur Dysnomia, puis appliquer la deuxième loi de Newton.


Dans le référentiel d’Éris, Dysnomia ne subit qu’une seule force. Cette seule force est une force d’attraction gravitationnelle, c’est la force d’attraction qu’exerce Éris sur Dysnomia.


Cette force doit être exprimée dans le repère donné sur la figure, c’est-à-dire à l’aide du vecteur \(\overrightarrow{u_{ED}} \) . Celui-ci est orienté de Éris vers Dysnomia.
Mais la force qu’exerce Éris sur Dysnomia est orientée de Dysnomia vers Éris, d’où le signe « - » dans l’expression de la force :

\( \overrightarrow{F _{E \rightarrow D}}= - \dfrac{G.M_E.M_D}{R^2_D} \overrightarrow{u_{ED}}\)

Question 5

Préciser la direction et le sens de ce vecteur accélération.

Le vecteur accélération est porté par le rayon de la trajectoire (il est radial) et est orienté vers le centre de la trajectoire (il est centripète).

Il faut exploiter la relation trouvée à la question précédente.


Le vecteur \(\overrightarrow{u_{ED}} \) est un vecteur unitaire, il est colinéaire à la droite qui relie les centres d’Éris et de Dysnomia, il est orienté d’Éris vers Dysnomia.

Question 6

Montrer que la période de révolution TD de Dysnomia a pour expression :

\(TD = 2 \pi \sqrt{\dfrac{R^3_D}{G.M_E}} \)

Retrouve-t-on la troisième loi de Kepler ? Justifier.

- Relation entre la vitesse de Dysnomia et sa période.
La période de révolution TD de Dysnomia est la durée pendant laquelle Dysnomia effectue un tour (distance parcourue pendant un tour = périmètre du cercle = \(2.\pi.R_D\)).
Sa vitesse est la distance parcourue pour effectuer un tour divisée par la durée pour effectuer ce tour (c'est la période ; puisque par définition, la période est la durée mise pour effectuer un tour), donc :

\( v = \dfrac{2.\pi.R_D}{T_D} \ \) (1)

- Relation entre la vitesse de Dysnomia et son accélération.
Le mouvement de Dysnomia est circulaire et uniforme, la norme du vecteur accélération est dans ce cas :

\(a = \dfrac{v^2}{R_D}\)

Ce qui donne \(v^2 = a \times R_D\)

Or d'après la question 4) la norme du vecteur accélération est \(a = G.\dfrac{M_E}{R^2_D}\)

On remplace \(a\) par son expression trouvée à la question 4), ce qui donne :

\( v^2 = \dfrac{G.M_E}{R^2_D} \times R_D \)

\( v^2 = \dfrac{G.M_E}{R_D} \ \) (2)

- Égalisation des expressions de la vitesse :
Comme l'expression (2) est au carré alors on élève au carré l'expression (1) :

\( v^2 = \dfrac{4.\pi^2.R^2_D}{T^2_D} \ \)

En égalisant, il vient alors \(\dfrac{4.\pi^2.R^2_D}{T^2_D} = \dfrac{G.M_E}{R_D} \)

On exprime \(T^2_D\), ce qui fait \(T^2_D = \dfrac{4.\pi^2.R^3_D}{G.M_E}\)

En prenant la racine carrée, on obtient \( T_D = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3_D}{G.M_E}}\)

Ce qui correspond bien à ce qu'il fallait démontrer.

- Vérification de la troisième loi de Kepler :

Comme \( T_D = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3_D}{G.M_E}}\)

Alors en élevant au carré \( T_D^2 = \dfrac{4.\pi^2.R^3_D}{G.M_E}\)

Donc \( \dfrac{T^2_D}{R^3_D} = \dfrac{4 \pi^2}{G.M_E}\)

On retrouve bien la troisième loi de Kepler car \(\dfrac{4 \pi^2}{G.M_E}\) est bien une constante.

Rappeler la définition de la période de révolution.


Établir la relation entre la vitesse de Dysnomia et sa période.


Exprimer la vitesse de Dysnomia à l’aide de deux expressions disponibles.


Le mouvement de Dysnomia est circulaire et uniforme, la norme du vecteur accélération est dans ce cas :
\( a = \dfrac{V^2}{R_D}\)


Pour répondre à la fin de la question sur la troisième loi de Kepler, il n’est pas nécessaire d’avoir réussi la démonstration.


Identifier les symboles qui vont intervenir dans la loi de Kepler appliquée à Dysnomia.


La troisième loi de Kepler fait intervenir la période TD et le demi grand axe de l’orbite ; ici l’orbite étant considérée circulaire, le demi grand axe correspond au rayon de l’orbite RD.

Question 7

Déduire de l'expression de TD lexpression de la masse ME d'Éris. Calculer sa valeur.

D'après la troisième loi de Kepler établie à la question 6) : \( \dfrac{T^2_D}{R^3_D} = \dfrac{4 \pi^2}{G.M_E}\)

On a \(G.M_E = \dfrac{4.\pi^2}{T^2_D}.R^3_D\)

Donc l'expression de ME est :

\(M_E = \dfrac{4.\pi^2}{G.T^2_D}.R^3_D\)

\( M_E = \dfrac{4 \times \pi^2 \times(3,60\times10^7)^3}{6,67 \times 10^{-11}\times(1,30\times10^6)^2}\)

\( M_E = 1,63\times 10^{22} \ kg\)

Déduire l’expression de ME à partir de celle de TD de la question 6).

Question 8

Calculer le rapport des masses d'Éris et de Pluton \(\dfrac{M_E}{M_P}\).

Expliquer alors pourquoi la découverte d'Éris a remis en cause le statut de planète pour Pluton.

\(\dfrac{M_E}{M_P} = \dfrac{1,63\times10^{22}}{1,31\times10^{22}} = 1,24\)

La masse d'Éris est un peu plus grande que celle de Pluton.
Si Éris n'est pas considérée comme une planète, alors Pluton qui a une masse moins importante que celle d'Éris ne l'est pas non plus.
Éris et Pluton sont en fait des représentants des « planètes naines ».

Un rapport est une division qui donne un nombre sans unité, il permet de comparer deux grandeurs.