Cours Stage - Décrire un mouvement

Exercice - Vecteur position, vitesse et accélération

L'énoncé

Voici l’équation du vecteur position : $\overrightarrow{OM} = 312t^2\overrightarrow{i} + 7,5t\overrightarrow{j} + 305\overrightarrow{k}$.


Question 1

Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$.

$\overrightarrow{OM}$ est du type $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$ donc, par comparaison on peut retrouver ses coordonnées : $x = 312t^2, y = 7,5t$ et $z = 305$.

$\overrightarrow{OM}$ est du type $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$

Question 2

Exprimer $\overrightarrow{v}$ en fonction du vecteur position. En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{v} = \dfrac{dx}{dt} \overrightarrow{u_x} + \dfrac{dy}{dt} \overrightarrow{u_y} + \dfrac{dz}{dt} \overrightarrow{u_z}$

Par conséquent, on a :

$\overrightarrow{v} = 624t\overrightarrow{i} + 7,5\overrightarrow{j}$. $\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées : $x = 624t, y = 7,5$ et $z = 0.$

$\overrightarrow{v} = \dfrac{dx}{dt} \overrightarrow{u_x} + \dfrac{dy}{dt} \overrightarrow{u_y} +  \dfrac{dz}{dt} \overrightarrow{u_z}$

Question 3

Exprimer $\overrightarrow{a}$ en fonction du vecteur position.

$\overrightarrow{a} = \dfrac{d^2x}{dt^2} \overrightarrow{u_x} + \dfrac{d^2y}{dt^2} \overrightarrow{u_y} + \dfrac{d^2z}{dt^2} \overrightarrow{u_z}$

$\overrightarrow{a} = 624\overrightarrow{i}. Donc $\overrightarrow{a}$ a pour coordonnées : $x = 624, y = 0$ et $z = 0.$

Le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur position.

Question 4

En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{a}$.

$\overrightarrow{a} = 624\overrightarrow{i}$

Donc $\overrightarrow{a}$ a pour coordonnées : $x = 624, y = 0$ et $z = 0.$