Cours Stage - Décrire un mouvement

Exercice - Tourne disque

L'énoncé

Pierre possède un tourne disque sur lequel il vient d’insérer un disque vinyle de 30 cm de diamètre. Le vinyle est appelé 33 tours pour le fait qu’il réalise 33 tours et 1 tiers de tour par minute.


Question 1

Calculer la valeur de la vitesse constante d’un point $A$ situé à la moitié de son rayon.

Dans le référentiel terrestre, dans le repère de Frenet, le point $A$ réalise 33 tours 1/3 en une minute.

Un tour est égal à : $2\pi R = 2\times 3,1416 \times \dfrac{30}{2} = 94cm$.

En une minute, le point $A$ réalise 33 tours 1/3 donc il parcourt : $33,33 \times 0,94 = 31 m$ en une seule minute.

La vitesse du point $A$ est de : $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{31}{60} = 0,52 m/s$.

Attention aux unités et aux valeurs à convertir !

Question 2

La valeur de la vitesse étant constante, le point $A$ a-t-il une accélération ? Si oui, que vaut-elle ?

Dans le repère de Frenet, les vecteurs vitesses au temps $t$ changent de direction en fonction de la position du point étudié. L’accélération existe en tant que deux vecteurs : l’accélération normale et l’accélération tangentielle.

L’accélération normale vaut : $\overrightarrow{a_n} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{(0,52)^2}{0,15} = 1,80 m/s^2$.

L’accélération tangentielle vaut : $\overrightarrow{a_T} = \dfrac{dv}{dt} = 0 m/s^2$.

On utilise le repère de Frenet. Il existe l’accélération tangentielle et l’accélération normale.

Question 3

Le disque ralentit à la fin de la bande son et $A$ atteint une vitesse de $v = 0,52 - \dfrac{t}{460}$. ($t$ est en seconde).

Calculer $v_1$ et $a_{n1}$ à $t_1 = 80s$.

$v_1 = 0,52-\dfrac{80}{460} = 0,52 – 0,17 = 0,35 m/s$

$a_{n1} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{0,35^2}{0,15} = 0,82 m/s^2$

Il suffit d’appliquer la formule de l’énoncé avec la valeur de $t$ donnée, pour commencer.

Question 4

Au bout de combien de temps le disque vinyle s’arrêtera-t-il ?

Le disque a une vitesse qui obéit à la loi : $v = 0,52 -\dfrac{t}{460}$. De plus, on cherche le temps t au bout duquel le disque s’arrête donc la vitesse finale vaut 0m/s.

$v_{final} = 0,52-\dfrac{t_{final}}{460} = 0$

$t_{final} =  0,52 \times 460 = 239 s = 3,99 min$.

Le disque vinyle de Pierre s’arrêtera à presque 4 min.

On cherche la variable $t.$