Cours Stage - Décrire un mouvement
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Dans le repère $(O ;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$, on donne le vecteur position $\overrightarrow{OM} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{k},$ les coordonnées du vecteur position sont :

x = 3 ; y = 2 et z = $-\dfrac{3}{2}$

x = $-\dfrac{3}{2}$ ; y = 2 et z = 3

x = 2 ; y = 3 et z = $-\dfrac{3}{2}$

$\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{u_x} + y\overrightarrow{u_y} + z\overrightarrow{u_z}$

Question 2

La norme du vecteur position précédent vaut :

$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$

$\sqrt{\dfrac{-61}{4}}$

$\sqrt{\dfrac{61}{4}}$

$\lVert \overrightarrow{OM} \rVert = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{3^2+2^2+(-\dfrac{3}{2})^2} = \sqrt{9+4+\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{52}{4}+\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{61}{4}}$

Pour rappel : $\overrightarrow{OM} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{k}$

Le vecteur position vaut ici : $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$.

Il suffit de retrouver les valeurs de $x, y$ et de $z$ qui sont respectivement $3, 2$ et $-\dfrac{3}{2}$

Question 3

Les coordonnées du vecteur vitesse associé au vecteur position $\overrightarrow{OM} = 3t\overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j} – 2t\overrightarrow{k}$ sont :

x = 3, y = 1 et z = -2

$\overrightarrow{OM} = 3t\overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j} – 2t\overrightarrow{k}$ donc les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$ sont x = 3t, y = t et z = -2t. Par conséquent, lorsqu’on dérive les coordonnées pour obtenir celles du vecteur vitesse on obtient : x = 3, y = 1 et z = -2.

x = 3t, y = t et z = -2t

x = 0, y = 0 et z = 0

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Question 4

Le vecteur accélération du vecteur position précédent $\overrightarrow{OM} = 3t^2\overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j} – 6t\overrightarrow{k}$ correspond à :

$\overrightarrow{OM} = 3t^2\overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j} – 6t\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i}$

On doit dériver deux fois les coordonnées du vecteur position. On obtient alors $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = 3\overrightarrow{i}$.

$\overrightarrow{OM} = 6\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse et donc la dérivée seconde du vecteur position.

Question 5

On donne le vecteur accélération suivant : $\overrightarrow{a} = 2t\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}.$ Quel est le vecteur vitesse associé ?

$\overrightarrow{v} = t^2\overrightarrow{i} + constante \times \overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{v} = 2t\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{v} = 2t^2\overrightarrow{i} + t\overrightarrow{k}$

Il suffit de trouver la primitive du vecteur accélération.