Cours Stage - Relation de Bernoulli, effet Venturi
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Question 1

Dans un régime permanent, on considère une canalisation cylindrique dans laquelle s’écoule de l’eau ($\rho_{eau} = 1000kg.m^{-3}$). L’eau s’écoule d’un point $A$ vers un point $B$ avec une vitesse de 100 L/s. La pression en $A$ vaut 1 bar et celle en $B$ vaut 0,7 bar. En $A,$ le diamètre de la canalisation est de 15 cm.

Quel est le diamètre de la canalisation en $B$ ?

15 cm.

4 cm.

$v_A \times S_A = v_B \times S_B$

$S_B = \dfrac{v_A\times S_A}{v_B} = \dfrac{0,1\times\pi \times0,075^2}{0,1} = 0,0056 m^2$

$S_B = 0,0056 = \pi \times R_B^2$

D’où : $R_B = \sqrt{\dfrac{0,0056}{\pi}} = 0,04m = 4cm$

50 cm.

Pour cette question, on a besoin de connaître les caractéristiques dans un régime permanent.

Question 2

On considère une canalisation cylindrique dans laquelle s’écoule de l’eau ($\rho_{eau} = 1000kg.m^{-3}$). L’eau s’écoule d’un point $A$ à 1 m d’altitude vers un point $B$ à 0 m d’altitude, avec une vitesse de 2 m/s. La pression en $A$ est égale à 70000 Pa.

Quelle est la pression au point $B$ ?

79810 Pa.

$p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$

D’où : $p_B = p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2} \rho v_A^2 - \rho g z_B - \dfrac{1}{2}\rho v_B^2 = 70000 + 1000\times 9,81 \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 2^2 - \dfrac{1}{2}\times 1000 \times 2^2$

On peut simplifier l’équation : $p_B = 70000 + 9810 = 79810Pa$.

80000 Pa.

71800 Pa.

La relation de Bernoulli est à utiliser ici : $p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$

Question 3

On considère une canalisation cylindrique dans laquelle s’écoule de l’eau ($\rho_{eau} = 1000kg.m^{-3}$). L’eau s’écoule d’un point $A$ (altitude = 1 m) vers un point $B$ (altitude = 0 m) avec une certaine vitesse. La pression en $A$ vaut 30000 Pa et celle en $B$ vaut 40000Pa. En $A,$ le diamètre de la canalisation est de 25 cm et en $B$ de 30 cm. La vitesse en $A$ est de 1,5 m/s.

Que vaut la vitesse en $B$ ?

$1,57m.s^{-1}$

$1,77m.s^{-1}$

$1,37m.s^{-1}$

D’après la relation de Bernoulli :

$v_B = \sqrt{\dfrac{p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 – p_B -\rho g z_B}{ \dfrac{1}{2}\times \rho}}$

$v_B = \sqrt{\dfrac{30000 + 1000 \times 9,81 \times 1+ \dfrac{1}{2}\times 1000 \times 1,5^2– 40000 -1000\times 9,81\times 0}{ \dfrac{1}{2}\times 1000}} = 1,37m.s^{-1}$

La relation de Bernoulli est à utiliser ici : $p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

Question 4

On considère une canalisation cylindrique dans laquelle s’écoule de l’eau ($\rho_{eau} = 1000kg.m^{-3}$). L’eau s’écoule d’un point $A$ (altitude = 2,5 m) vers un point $B$ (altitude = 1 m) avec une certaine vitesse. La pression en $A$ et $B$ vaut 40000 Pa. En $A,$ le diamètre de la canalisation est de 25 cm et en $B$ de 30 cm. La vitesse en $B$ est de 3 m/s.

Que vaut la vitesse en $A$ ?

$0,62 m.s^{-1}$

$6,2 m.s^{-1}$

D’après la relation de Bernoulli :

$v_A = \sqrt{\dfrac{p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2 – p_A -\rho g z_A}{\dfrac{1}{2}\times \rho}}$ 

$v_A =  \sqrt{\dfrac{40000 + 1000 \times 9,81 \times 2,5+ \dfrac{1}{2}\times 1000 \times 3^2– 40000 -1000\times 9,81\times 1}{\dfrac{1}{2}\times 1000}} = 6,2 m.s^{-1}$

$10,2 m.s^{-1}$

La relation de Bernoulli est à utiliser ici : $p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

Question 5

On considère une canalisation cylindrique dans laquelle s’écoule de l’eau ($\rho_{eau} = 1000kg.m^{-3}$). L’eau s’écoule d’un point $A$ (z = 2 m) vers un point $B$ (z =0 m) avec un certain débit volumique. La pression en $A$ vaut 70000 Pa et celle en $B$ vaut 60000 Pa. Le diamètre de la canalisation vaut 25 cm. La vitesse en $A$ est de 2 m/s.

Que vaut le débit volumique à la sortie de la canalisation ?

390 L/s

$p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$

Tout d’abord, on cherche la vitesse en $B$ :

$v_B = \sqrt{\dfrac{p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 – p_B -\rho g z_B}{\dfrac{1}{2} \times \rho}}$

$v_B =  \sqrt{\dfrac{70000 + 1000 \times 9,81 \times 2+ \dfrac{1}{2}\times 1000 \times 2^2– 60000 -1000\times 9,81\times 0}{\dfrac{1}{2} \times 1000}} = 7,95m.s^{-1}$

On peut ainsi trouver le débit volumique en $B$ :

$D_B = v_B \times S_B = 7,95 \times \pi \times R_B^2 = 7,95 \times \pi \times 0,125^2 = 0,39m^3.s^{-1}$ soit 390 L/s.

39 L/s

0,39 L/s

On doit d’abord trouver la vitesse dans la canalisation grâce à l’équation de Bernoulli.