Cours Stage - Relation de Bernoulli, effet Venturi

Exercice - Relation de Bernoulli

L'énoncé

 

 

 

 

 

 

Matthieu a acheté une piscine gonflable pour profiter de son jardin en été. Or, aussitôt montée, il se rend compte une fois remplie que celle-ci fuit au niveau du sol sur le côté.

On a deux points $H$ et $B$ (pour haut et bas). Le point $H$ étant situé sur la surface de l’eau de la piscine et le point $B$ au niveau de la fuite. Une ligne de courant s’établit de $H$ à $B,$ vers la fuite. $H$ et $B$ sont tous deux en contact avec l’air. Le niveau de l’eau est à 1,20 m.

Outils : $\rho_{eau} = 1000kg/m^3$.

Le diamètre du trou est de 0,5 cm.

Le diamètre de la piscine est de 5 m.

La pression de l’air libre est égale à la pression atmosphérique : p = 100 000 Pa.


Question 1

Dessiner le schéma de la situation.

La croix rouge indique l’endroit de la fuite.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Question 2

La situation est dans le cadre d’un régime permanent. Qu’est-ce que cela implique au niveau des vitesses d’écoulement ?

Lorsque le régime est permanent et le fluide incompressible, le débit est conservé.

C’est-à-dire que : $v_H\times S = v_B\times s$.

On utilise une loi vue précédemment.

Question 3

Calculer la vitesse au niveau de la fuite.

D’après la relation de Bernoulli, on a :

$p_H + \rho g z_H + \dfrac{1}{2}\rho v_H^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

On sait que $D_H = D_B = v_H\times S = v_B\times s$.

La section de la piscine est de : $S = \pi \times 2,5^2 = 19,63m^2$.

La section du trou est de : $s = \pi \times 0,0025^2 = 1,96.10^{-5}$.

De plus, $H$ et $B$ sont en contact direct avec l’air libre donc $p_H = p_B = p$.

Donc : $v_B = \sqrt{\dfrac{2gz_HS^2}{S^2-s^2}} = \sqrt{\dfrac{2\times 9,81\times 1,2\times 19,63^2}{19,63^2-(1,96.10^{-5})^2}} = 4,85m/s$.

On utilisera la relation de Bernoulli :

$p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$

Question 4

Imaginons que la section de la fuite soit deux fois plus petite. Recalculer la vitesse en $B$ avec cette nouvelle donnée. Conclure.

D’après la relation de Bernoulli, on a :

$p_H + \rho g z_H + \dfrac{1}{2}\rho v_H^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

On sait que $D_H = D_B = v_H\times S = v_B\times s$.

La section de la piscine est de : $S = \pi \times 2,5^2 = 19,63m^2$.

La section du trou est de : $s’ = s/2 = 1,96.10^{-5}/2 = 9,8.10^{-6}m^2$.

Donc : $v_B = \sqrt{\dfrac{2gz_HS^2}{S^2-s^2}} = \sqrt{\dfrac{2\times 9,81\times 1,2\times 19,63^2}{19,63^2-(9,8.10^{-6})^2}} = 4,85m/s$.

En conclusion, la variation de la taille du trou où se situe la fuite est tellement minime que cela ne fait pas varier la vitesse d’écoulement en $B.$

On utilisera la relation de Bernoulli :

$p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$