Cours Fonctions, image, antécédent
Exercice d'application
Exercice : Fonctions égales ?
 
$f$ et $g$ sont des fonctions définies par :
$f(x)=(x-1)(11-x)+5(x-1)^2$
$g(x)= 2(x-1)(2x+3)$
 
1) Recopier et compléter le tableau. Aucune justification demandée.
 
 
2) Que peut-on conjecturer ? Tester cette conjecture en choisissant une autre valeur de $x$.
 
3) Démontrer cette conjecture en factorisant l'expression de $f(x)$.

1) 

2)  Il semblerait que les fonctions soient égales quelque soit le nombre relatif.

Un autre exemple : $f(3) = 36$ et $g(3) = 36$.

3) Prouvons que cette conjecture est vraie pour tout $x$ :

On peut développer ces deux fonctions et comparer les résultats. Dans ce cas précis, on peut factoriser $f$ pour gagner du temps

$f(x)=(x-1)(11-x)+5(x-1)^2$

$f(x)=(x-1)[(11-x)+5(x-1)]$

$f(x)=(x-1)[11-x+5x-5]$

$f(x)=(x-1)(4x+6)$

$f(x)= 2(x-1)(2x+3)$

C'est l'expression de $g$. Les deux fonctions sont donc égales.