L’incontournable du chapitre

Image d'un nombre par une fonction

Image d’un nombre par une fonction

 

Notion intuitive d’image

 

Considérons la courbe de température suivante :

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L‘ensemble de définition de la fonction est $[0, 24]$, c’est à dire que l’étude se fait sur une journée complète à partir de minuit. 

L’ordonnée est la température, il s’agit donc de la représentation graphique de la température en fonction du temps.

Ainsi, le temps est sur l’axe des abscisses. 

 

Question : quelle température faisait-il à 3h du matin ?

On lit graphiquement que la température à 3h du matin est 9°C. 

Ainsi, on dira que l’image de 3 par la fonction $f$ vaut 9 : il n’y a plus d’unité. On notera aussi $f(3) = 9$

 

Définition

 

Soit $f$ une fonction et $a$ et $b$ deux réels vérifiants $f(a)=b$.

On dit que $b$ est l’image de $a$ par $f$.

Ou encore :  l’image de $a$ par $f$ vaut $b$.

 

Autre exemple :

Pour trouver l’image de 15, on se place sur l’axe des abscisses à $t = 15$ puis on trace la droite perpendiculaire à cet axe et on regarde l’ordonnée du point d’intersection entre cette droite et la courbe de $f$ :

On lit $f(15) = 15$.

Antécédent d'un nombre par une fonction

Antécédent d’un nombre par une fonction

 

Définition

 

Soit $f$ une fonction et deux réels $a$ et $b$ vérifiant $f(a)=b$

On dit que $b$ est l’image de $a$ par $f$. (c’est une valeur unique)

On dit que $a$ est un antécédent par $f$ de $b$. (il peut y en avoir plusieurs)

 

Exemples

 

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Cherchons le ou les antécédents, s’ils existent de $14$

Cela revient à chercher l’heure à laquelle la température était de 14°C.

 

Pour ce faire, on se place sur l’axe des ordonnées (l’axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d’intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.

Ici, il y a deux points d’intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h.  

Il se peut que dans certains cas il n’y ait aucune solution

 

Mathématiquement, le fait qu’il ait fait 14°C à 12h et 18h se traduit par :

Les antécédents de 14 par la fonction $f$ sont 12 et 18.

 

Ou encore :  les solutions de l’équation $f(t) = 14$ sont $S = {12; 18}$.

 

Considérons l’équation $f(t) = 10$ : on cherche donc les antécédents de 10 par $f$.

Les solutions sont donc $S = {0; 6; 24}$. 

 

Considérons l’équation $f(t) = 16$ : on cherche donc les antécédents de 16 par $f$.

La température de 16°C n’étant jamais atteinte, cette équation n’admet pas de solution : 

$S = varnothing$.

Fonction linéaire, fonction affine

Fonction linéaire, fonction affine

 

Fonctions linéaires 

 

Une fonction linéaire est un procédé qui à un nombre $x$ associe un nombre $f(x)$ de la forme $f(x) = ax$ où $a$, le coefficient directeur, est un nombre donné et on la note $x  xrightarrow{f} f(x) = ax$.

Une fonction linéaire aura pour représentation graphique une droite passant toujours par l’origine du repère, c’est à dire le point de coordonnées $(0; 0)$.

Selon la valeur de $a$, l’inclinaison de la droite sera différente : plus $a$ est grand (et positif)plus la droite monte, plus $a$ est petit et positifmoins la droite monte. Si $a$ est négatif, la droite descend.  

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Sur le graphique, la fonction $f$ associe au nombre 1 le nombre 2.

Ainsi $f(1) = 2$.

Or la forme générale de $f$ est $f(x) = a \times x$ donc $f(1) = a \times 1 = a$ et $f(1) = 2$ donc $a = 2$.

Ainsi ce graphique est le représentation graphique de la fonction $f(x) = 2x$. 

 

Fonctions affines 

 

Une fonction affine est de la forme $x  xrightarrow{f} f(x) = ax + b$ où $a$, le coefficient directeur, et $b$, l’ordonnée à l’origine, sont des nombres donnés.

$b$ s’appelle l‘ordonnée à l’origine car la représentation graphique des fonction affines est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $b$.

La valeur de $a$ donne l’inclinaison de la droite. Plus $a$ est grand et positif, plus la droite monte; plus $a$ est petit, plus la droite descend. 

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Enfin, les fonctions linéaires sont un cas particulier des fonctions affines, avec $b = 0$.

 

Déterminer une fonction affine connaissant 2 points - Le rappel de cours

Déterminer une fonction affine connaissant 2 points

 

Méthode :

 

Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et de $b$ connaissant les coordonnées de deux points appartenant à la représentation graphique de $f$.

La représentation graphique ci-dessous n’est point utile mais permet tout de même de visualiser la fonction $f$. 

 

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Les points connus sont $N(2; 0)$ et $P(-1; -3)$. 

Si un point appartient à la courbe représentative de la fonction $f$, alors ses coordonnées vérifient l’équation de $f$, sachant que $x$ correspond à l’abscisse du point et $f(x)$ à son ordonnée. 

Ainsi, comme $N$ appartient à la droite, on peut alors écrire : $a \times 2 + b = 0$. 

De même, $P$ appartient à la droite, donc $a \times (-1) + b = -3$.

 

Ces deux équations à deux inconnues permettent donc d’écrire un système d’équation qu’il faut résoudre : 

$left \{ begin{array}{c} 2a + b = 0 \ -a + b = -3 \ \end{array} right.$

 

Il suffit ensuite d’isoler $b$ :

$left \{ \begin{array}{c}  b = -2a \  b = -3 + a \ \end{array} right.$

 

Ainsi, $-2a = -3 + a$ : $a$ est alors l’unique inconnue. On résout alors cette équation $-3a = -3$ donc $a = 1$.

Enfin, pour déterminer $b$, il suffit de remplacer dans une des deux équations $a$ par sa valeur : $b = -2times 1 = -2$. 

 

La fonction $f$ s’écrit donc

$f(x) = x – 2$

 

Il est alors possible de vérifier ce résultat à l’aide du graphique.

Le coefficient directeur est 1. L’ordonnée à l’origine est -2. 

Déterminer une fonction affine connaissant 2 points - Exemple