Fonction linéaire, fonction affine
Fonction linéaire, fonction affine
Fonction linéaire, fonction affine
Fonctions linéaires
Une fonction linéaire est un procédé qui à un nombre $x$ associe un nombre $f(x)$ de la forme $f(x) = ax$ où $a$, le coefficient directeur, est un nombre donné et on la note $x \xrightarrow{f} f(x) = ax$.
Une fonction linéaire aura pour représentation graphique une droite passant toujours par l’origine du repère, c’est à dire le point de coordonnées $(0; 0)$.
Selon la valeur de $a$, l’inclinaison de la droite sera différente : plus $a$ est grand (et positif), plus la droite monte, plus $a$ est petit et positif, moins la droite monte. Si $a$ est négatif, la droite descend.
Sur le graphique, la fonction $f$ associe au nombre 1 le nombre 2.
Ainsi $f(1) = 2$.
Or la forme générale de $f$ est $f(x) = a \times x$ donc $f(1) = a \times 1 = a$ et $f(1) = 2$ donc $a = 2$.
Ainsi ce graphique est le représentation graphique de la fonction $f(x) = 2x$.
Fonctions affines
Une fonction affine est de la forme $x \xrightarrow{f} f(x) = ax + b$ où $a$, le coefficient directeur, et $b$, l’ordonnée à l’origine, sont des nombres donnés.
$b$ s’appelle l‘ordonnée à l’origine car la représentation graphique des fonction affines est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $b$.
La valeur de $a$ donne l’inclinaison de la droite. Plus $a$ est grand et positif, plus la droite monte; plus $a$ est petit, plus la droite descend.
Enfin, les fonctions linéaires sont un cas particulier des fonctions affines, avec $b = 0$.
Déterminer une fonction affine connaissant 2 points - Le rappel de cours
Déterminer une fonction affine connaissant 2 points
Méthode :
Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.
Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et de $b$ connaissant les coordonnées de deux points appartenant à la représentation graphique de $f$.
La représentation graphique ci-dessous n’est point utile mais permet tout de même de visualiser la fonction $f$.
Les points connus sont $N(2; 0)$ et $P(-1; -3)$.
Si un point appartient à la courbe représentative de la fonction $f$, alors ses coordonnées vérifient l’équation de $f$, sachant que $x$ correspond à l’abscisse du point et $f(x)$ à son ordonnée.
Ainsi, comme $N$ appartient à la droite, on peut alors écrire : $a \times 2 + b = 0$.
De même, $P$ appartient à la droite, donc $a \times (-1) + b = -3$.
Ces deux équations à deux inconnues permettent donc d’écrire un système d’équation qu’il faut résoudre :
$\left \{ \begin{array}{c} 2a + b = 0 \\ -a + b = -3 \\ \end{array} \right.$
Il suffit ensuite d’isoler $b$ :
$\left \{ \begin{array}{c} b = -2a \\ b = -3 + a \\ \end{array} \right.$
Ainsi, $-2a = -3 + a$ : $a$ est alors l’unique inconnue. On résout alors cette équation $-3a = -3$ donc $a = 1$.
Enfin, pour déterminer $b$, il suffit de remplacer dans une des deux équations $a$ par sa valeur : $b = -2\times 1 = -2$.
La fonction $f$ s’écrit donc
$f(x) = x – 2$
Il est alors possible de vérifier ce résultat à l’aide du graphique.
Le coefficient directeur est 1. L’ordonnée à l’origine est -2.