Cours Sections de solides par des plans

Exercice - Section d'un cube

L'énoncé


Le cube représenté ci-dessus est un cube d’arête \(8\) cm.
\(M\) est le milieu de \([BF]\)
\(N\) est le milieu de \([CG]\)
\(P\) est le milieu de \([CD]\)
\(R\) est le milieu de \([AB]\)


Question 1

Quelle est la nature du triangle \(BRM\) ?

\(ABCDEFGH\) est un cube donc chacune de ses faces est un carré, Donc la face \(AEFB\) est un carré, l'angle \(\widehat{RBM}\) est droit.
On peut donc en déduire que le triangle \(BRM\) est un triangle rectangle en \(B\).
De plus, \(M\) est le milieu de \([BF]\) et \(R\) est le milieu de \([AB]\), donc \(BR = BM = \dfrac{8}{2} = 4\).
On peut donc en déduire que le triangle \(BRM\) est un triangle isocèle en \(B\).

Conclusion : \(BRM\) est un triangle rectangle isocèle en \(B\).

Quelle est la nature de la face \(AEFB\) ?


\(AEFB\) est un carré.


De plus, \(M\) est le milieu de \([BF]\) et \(R\) est le milieu de \([AB]\), donc \(BR = BM = \dfrac{8}{2} = 4\).

Question 2

Construire ce triangle en vraie grandeur.

Commencez par tracer l'angle droit avec léquerre. Puis les deux « petits côtés » qui mesurent chacun 4 cm.

Petit conseil : Avant de vous lancer dans une construction, faites TOUJOURS un dessin à main levée qui vous aidera à réaliser la figure en vraie grandeur. (Même quand c'est très facile comme ici)

Pas de difficulté : le triangle \(BRM\) est rectangle et isocèle en \(B\).


Il suffit donc de se munir d’une équerre et d’une règle graduée. Pas besoin de compas.

Question 3

Calculer la valeur exacte de \(RM\).

Le triangle \(BRM\) est rectangle en \(B\).
D'après le théorème de Pythagore :
\(RM^2 = BR^2 + BM^2\)
Or le triangle \(BRM\) est isocèle en \(B\) et on sait que \(BR = BM = \dfrac{8}{2} = 4\).

On a donc :
\(RM^2 = 4^2 + 4^2\)
\(RM^2 = 16 + 16\)
\(RM^2 = 32\)

D'où :
\(RM = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) cm

\([RM]\) est l’hypoténuse du triangle \(BRM\) dont on vient de prouver qu’il était rectangle.


Triangle dont on connait déjà les longueurs de deux côtés.


Théorème de Pythagore bien sûr !

Question 4

On coupe le cube par le plan passant par \(R\) et parallèle à l'arête \([BC]\).
La section est le quadrilatère \(RMNP\).
Quelle est la nature de la section \(RMNP\) ?

La section dun pavé droit par un plan parallèle à une arête du pavé est un rectangle dont une des dimensions est égale à la longueur de cette arête.
\(RMNP\) est donc un rectangle dont une des dimensions est celle de \([BC]\).

Là, il faut juste se souvenir de son cours.


La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête du pavé est un rectangle dont une des dimensions est égale à la longueur de cette arête.

Question 5

Construire \(RMNP\) en vraie grandeur.

\(RMNP\) est un rectangle dont une des dimensions est celle de \([BC]\), soit \(8\) cm.
Il faut donc commencer par tracer un côté de \(8\) cm.
Dans la question 2, vous avez construit le triangle \(BRM\) dont l'hypoténuse est le côté \([RM]\).
Il suffit d'aller chercher cette longueur avec le compas et de la reporter pour construire le rectangle \(RMNP\).

\(RMNP\) est un rectangle dont une des dimensions est celle de \([BC]\), c’est-à-dire \(8\) cm.


\(RP = MN = 8\) cm, il faut aussi avoir \(RM \) (ou \(PN\)).


Pensez à utiliser la figure construite dans la question 2.

Question 6

Quelles sont les dimensions exactes de \(RMNP\) ?

\(RP = MN = 8\) cm, (c'est la dimension du segment \([BC]\)).
De plus, \(RM = PN = 4\sqrt{2}\).
\(RMNP\) est un rectangle de longueur \(8\) cm et de largeur \(4\sqrt{2}\).

Aucune difficulté. Si vous venez de le construire, vous savez déjà que \(RP = RM = 8 \) cm.


Et depuis la question 3, vous connaissez aussi \(RM\) et \(PN\).

Question 7

Calculer l'aire du triangle \(RBM\).

Nous savons que : Aire du triangle \( = \dfrac{base \times hauteur}{2}\)

Dans un triangle rectangle, on peut choisir de prendre les deux « petits côtés » comme base et hauteur.

Ce qui nous donne : Aire du triangle \(BRM = \dfrac{BR \times BM}{2}\)

Aire du triangle \(BRM = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8\) cm2

Cette formule doit être gravée en vous : Aire du triangle \( = \dfrac{base \times hauteur}{2}\)


Et dans un triangle rectangle, vous pouvez choisir de prendre les deux « petits côtés » comme base et hauteur.


Ce qui donne : Aire du triangle \(BRM = \dfrac{BR \times BM}{2}\)

Question 8

Calculer le volume du prisme droit de base le triangle \(BRM\) et de hauteur \([BC]\).

D'après la formule : Volume du prisme droit = Aire du polygone de base \( \times \) hauteur :
Volume du prisme droit \(RMNP\) = Aire du triangle \( BRM \times BC\),
Volume du prisme droit \(RMNP\) = \( 8 \times 8\),
Volume du prisme droit \(RMNP\) = \( 64 \) cm 3.

Volume du prisme droit = Aire du polygone de base \( \times \) hauteur.


Ce qui donne : Volume du prisme droit \(RMNP\) = Aire du triangle \( BRM \times BC\).