Cours Sections de solides par des plans

Exercice - Section d'une boule

L'énoncé


Un tailleur de pierre doit tailler des boules de marbre de \(10\) cm de diamètre pour les disposer au sommet de colonnes.

Il confectionne d’abord des cubes de \(10\) cm d’arête dans lesquels il taille chaque boule.


Question 1

Quel est le volume du cube de départ ?

Calcul du volume du cube de départ :

Volume cube = \(c^3 = 10^3 = 1 000\) cm3.

Question très facile pour se mettre en jambe, la formule du volume d’un cube de côté c'est la plus simple qui soit.


Volume cube = \(c^3\)


Et le côté du cube est de \(10\) cm.

Question 2

Quelle est la valeur exacte du volume de la boule taillée ?

Le volume \(V\) d'une boule de rayon \(R\) est donné par la formule :

\( V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times R^3\)

Puisque le tailleur de pierre utilise des cubes d'arête \(10\) cm, cela signifie que le diamètre de la boule est de \(10\) cm, et que le rayon est de \(5\) cm.

Ce qui nous donne ici :

\( V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times R^3 \)

\( V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times 5^3\)

\( V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times 125\)

\( V = \dfrac{500\pi}{3}\) cm 3

À connaître par cœur : le volume \(V\) d’une boule de rayon \(R\) est donné par la formule : \( V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times R^3\).


Puisque le tailleur de pierre utilise des cubes d’arête \(10\) cm, cela signifie que le diamètre de la boule est de \(10\) cm.


Son rayon est donc de \(5\) cm.


Attention, on demande ici une valeur exacte donc pensez bien à conserver l’écriture \(\pi\) dans votre résultat.

Question 3

Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm3 prés) de marbre perdu, une fois la boule taillée.

Volume du marbre perdu = volume du cube - volume boule.

Volume du marbre perdu = \(1000 - \dfrac{500\pi}{3} \approx 476\) cm3

Quand le tailleur de pierre, à partir du cube, obtient la boule, il s’agit de savoir ici quel est le volume perdu.


Volume du marbre perdu = volume du cube – volume boule.


Attention, ici on demande une valeur approchée au cm3, c’est-à-dire à l’unité.

Question 4

S'il découpe ensuite la boule de centre \(O\) suivant un plan pour la coller sur son emplacement.
Quelle sera la nature de la section ?

La section d'une sphère par un plan est un cercle.
Par conséquent, la section ici sera un cercle de centre \(K\) comme sur la figure.

Attention ! Il ne faut pas se laisser influencer par la perspective.


Imagine la situation, vous avez la boule dans votre main, vous la coupez, quelle section voyez-vous ?


En fait, c’est un résultat du cours, à connaître par cœur !

Question 5

Finalement il décide de découper la boule de centre \(O\) suivant un plan, de façon à ce que la section obtenue soit un cercle de centre \(K\) et de diamètre \(AB = 5\) cm.
Quelle sera la nature de la section du triangle \(OKA\) ?

La droite \((OK)\) étant perpendiculaire au diamètre du cercle de section, l'angle \(\widehat{OKB}\) est droit.
Nous en déduisons que le triangle \(OKA\) est un triangle rectangle en \(K\).

La droite \((OK)\) est perpendiculaire au diamètre du cercle de section.


Donc l'angle \(\widehat{OKB}\) est droit.

Question 6

À quelle distance \(h\) du centre \(O\) de la boule doit-il faire la section de façon à ce que le cercle de section soit de diamètre \(5\) cm ? (Arrondir \(h\) au millimètre.)

Le triangle \(OKA\) est un rectangle en \(K\).
D'après le théorème de Pythagore :
\(OA^2 = OK^2 + KA^2\)
Le diamètre du cercle de section est de 5 cm donc son rayon est de \(2,5\) cm.

On a donc :
\(5^2 = h^2 + 2,5^2\)
\(25 = h^2 + 6,25\)
\(h^2 = 25 - 6,25\)
\(h^2 = 18,75\)

Doù :
\( h = \sqrt{18,75} \approx 4,3\) cm

On a vu dans la question précédente que le triangle \(OKA\) était un triangle rectangle.


Dans le triangle \(OKA\) vous connaissez \(OA\) (rayon de la boule) et \(KA\) (rayon du cercle de section).


Encore une fois : Théorème de Pythagore !