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SOMME DES MESURES DES ANGLES D'UN TRIANGLE

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Somme des angles d'un triangle

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Somme des angles d'un triangle

 

Propriété

 

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°. 

 

Exemple :

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On se place dans le triangle $EFG$.

D'après la propriété précédente, on a l'égalité suivante :

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 180$ °.

 

Ainsi, en connaissant la mesure de deux angles, il est possible d'en déduire la valeur du dernier. 

Exemple :

Supposons que $\widehat{EFG} = 100$° et $\widehat{GEF} = 50$°

Alors

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 100 + 50 + \widehat{FGE}$

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 150 + \widehat{FGE}$

On sait aussi que :

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 180$.

Ainsi,

$\widehat{FGE} = 180 - 150 = 30$°.

 

Cas particuliers :

 

1) Le triangle rectangle

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On sait que l'angle droit mesure 90°, donc $\widehat{ORC} = 90$°.

Ainsi,

$\widehat{ROC} + \widehat{OCR} = 180 - 90 = 90$°.


Deux angles dont la somme des mesures vaut $90$° s'appellent des angles complémentaires.

Les deux angles aigus $\widehat{ROC}$ et $\widehat{OCR}$ sont donc des angles complémentaires. 

 

2) Le triangle isocèle

Par définition, un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur. 

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$ABC$ est un triangle isocèle en $B$, ce qui signifie que $BA = BC$ mais aussi que les deux angles à la base sont de même mesure.

Si on sait que $\widehat{ABC} = 40$°, on peut en déduire la valeur des autres angles. 

En effet,

$\widehat{BCA} + \widehat{CAB} = 180 - 40$

$\widehat{BCA} + \widehat{CAB}= 140$°.

Or $\widehat{BCA} = \widehat{CAB}$, donc il mesure chacun la moitié de $140$.

Ainsi,

$\widehat{BCA} = \widehat{CAB} = 70$°

 

3) Le triangle équilatéral 

Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses trois côtés de même longueur.

En outre, les angles d'un triangle équilatéral ont même mesure. 

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$UNI$ est un triangle équilatéral.

Chaque angle est égal et la somme vaut $180$°, ce qui signifie que chaque angle mesure le tiers de $180$°, c'est à dire $60$°.