Somme des mesures des angles d’un triangle

Somme des angles d’un triangle

Somme des angles d’un triangle

 

Quelle est la propriété concernant la somme des angles d’un triangle ?

 

La somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180°.

 

Exemple :

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On se place dans le triangle $EFG$.

D’après la propriété précédente, on a l’égalité suivante :

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 180$ °.

 

Ainsi, en connaissant la mesure de deux angles, il est possible d’en déduire la valeur du dernier.

Exemple :

Supposons que $\widehat{EFG} = 100$° et $\widehat{GEF} = 50$°

Alors

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 100 + 50 + \widehat{FGE}$

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 150 + \widehat{FGE}$

On sait aussi que :

$\widehat{EFG} + \widehat{FGE} + \widehat{GEF} = 180$.

Ainsi,

$\widehat{FGE} = 180 – 150 = 30$°.

 

Cas particuliers :

 

1) Le triangle rectangle

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On sait que l’angle droit mesure 90°, donc $\widehat{ORC} = 90$°.

Ainsi,

$\widehat{ROC} + \widehat{OCR} = 180 – 90 = 90$°.

Qu’est-ce qu’un angle complémentaire ?

Deux angles dont la somme des mesures vaut $90$° s’appellent des angles complémentaires.

Les deux angles aigus $\widehat{ROC}$ et $\widehat{OCR}$ sont donc des angles complémentaires.

 

2) Le triangle isocèle

Quelles sont les propriétés du triangle isocèle ?

Par définition, un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.

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$ABC$ est un triangle isocèle en $B$, ce qui signifie que $BA = BC$ mais aussi que les deux angles à la base sont de même mesure.

Si on sait que $\widehat{ABC} = 40$°, on peut en déduire la valeur des autres angles.

En effet,

$\widehat{BCA} + \widehat{CAB} = 180 – 40$

$\widehat{BCA} + \widehat{CAB}= 140$°.

Or $\widehat{BCA} = \widehat{CAB}$, donc il mesure chacun la moitié de $140$.

Ainsi,

$\widehat{BCA} = \widehat{CAB} = 70$°

 

3) Le triangle équilatéral 

Quelles sont les caractéristiques d’un triangle équilatéral ?

Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses trois côtés de même longueur.

En outre, les angles d’un triangle équilatéral ont même mesure.

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$UNI$ est un triangle équilatéral.

Chaque angle est égal et la somme vaut $180$°, ce qui signifie que chaque angle mesure le tiers de $180$°, c’est-à-dire $60$°.

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