Propriétés des parallélogrammes

Parallélogramme : propriétés

I. Propriétés d’un parallélogramme

Quelles sont les propriétés d’un parallélogramme ?

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

  • ses côtés opposés sont parallèles (par définition) ;
  • ses côtés opposés ont la même longueur ;
  • ses diagonales se coupent en leurs milieux.

 

Exemple :

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors :

$(AB)//(CD)$ et $(BC)//(AD)$ car ses côtés opposés sont parallèles ;

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$AD = BC$ et $AB = CD$ car ses côtés opposés ont la même longueur.

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Les diagonales sont les segments $[AC]$ et $[BD]$.

Leur point d’intersection $I$ est le milieu des deux segments. Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme.

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II. Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il s’agit de vérifier que le quadrilatère vérifie une seule des propriétés suivantes :

 

1) Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Exemple : si $(IJ)//(LK)$ et $(IL)//(JK)$ alors, $IJKL$ est un parallélogramme.

 

2) Les côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

Exemple : si $IJ = LK$ et $JK = IL$ alors $IJKL$ est un parallélogramme.

 

3) Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Exemple : si $IJ = LK$ et $(IJ)//(LK)$ OU $IL = JK$ et $(IL)//(JK)$ alors $IJKL$ est un parallélogramme.

 

4) Les diagonales se coupent en leur milieu.

Exemple : si $P$ est le point d’intersection des diagonales $[IK]$ et $[JL]$ et les coupent en leur milieu, alors $IJKL$ est un parallélogramme.

 

Conclusion : La propriété à utiliser dépendra donc de l’exercice et des données dont on dispose.

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