Première > Mathématiques > Fonction exponentielle > Stage - Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

STAGE - PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 

 

Rappels

 

On considère dans tout le chapitre deux nombres réels $a$ et $b$.

Pour rappel, la fonction exponentielle se note $\exp(a)$ ou $e^a$.

Les propriétés de la fonction exponentielle sont les mêmes que celles des puissances.

L'exponentielle est strictement positive : ainsi, $e^a > 0$. 

$\exp(0) = e^0 = 1$

$\exp(1) = e^1 = e \approx 2,718$

 

Exponentielle d'une somme

 

$\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$

Ou encore  :   $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$

 

Exemple : 

$e^{2} \times e^{4} = e^{2 + 4}  = e^{6}$

$e^{7} \times e^{-11} = e^{7-11}  = e^{-4}$

 

Exponentielle d'une différence

 

$\exp(a) \exp(-a) = \exp(a - a) = \exp(0) = 1$

$\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$

$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$

 

Démonstration 

$\exp(a - b) = \exp(a) \exp(-b) $

$\exp(a - b) = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} $

$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$.

 

Exponentielle d'une puissance


Soit $n$ un entier relatif,

$\exp(na) = (\exp(a))^n$   ou encore : 

$e^{na} = {(e^a)}^{n}$

 

Exemple 

On souhaite simplifier l'expression de la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}$. 

$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}\\ &=&  \dfrac{\exp(-3x + (2x - 1))}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{\exp(2\times(x + 2)} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{\exp(2x + 4 } \\ &=&\exp(-x - 1 - (2x + 4)) \\  &=&\exp(-3x - 5) \end{aligned} $

 

On peut aussi utiliser la notation $e^x$. 

$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{e^{-3x} \times e^{2x -1}}{({e^{x + 2})}^2}\\ &=&  \dfrac{e^{-3x + (2x - 1)}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{e^{2\times(x + 2)}} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{e^{2x + 4 }} \\ &=& e^{-x - 1 - (2x + 4)} \\  &=& e^{-3x - 5} \end{aligned} $