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DÉRIVÉE D’UNE SOMME, D’UN PRODUIT ET D’UN QUOTIENT

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Opérations et dérivées

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Opérations et dérivées

 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur $I$.

 

1) Dérivée d'une somme 

La dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction : c'est à dire

$(u + v)' = u' + v'$. 

 

Par exemple $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x}$.

Il faut dans un premier temps chercher le domaine de définition et l'ensemble de dérivabilité

La fonction $u(x) = x^2$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction $v(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$. 

Ainsi, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$. 

Pour $x \in \mathbb{R}^*, \ f'(x) = 2x + \dfrac{-1}{x^2}$. 

 

2) Dérivée du produit d'une fonction par un réel $k$

La formule est la suivante : $(ku)' = k \times u'$ avec $k \in \mathbb{R}$. 

 

Exemple, on souhaite déterminer la dérivée de $f(x) = -2x^2$.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ainsi:

pour tout réel $x$, $f'(x) = -2 \times (2x) = -4x$. 

 

3) Dérivée de l'inverse d'une fonction

La formule est $\left ( \dfrac{1}{v} \right )' =  \dfrac{-v'}{v^2} $ pour tout $x \in I$ et il faudra veiller à ce que $v(x) \neq 0$. 

 

Exemple, considérons la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x+1}$. 

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R} \backslash \{-1\}$:

Pour tout réel $x$ différent de $-1,\ f'(x) = \dfrac{-1}{(x+1)^2}$. 

 

4) Dérivée du produit de deux fonctions

La dérivée d'un produit est donnée par la formule suivante :
$(uv)' = uv' + u'v$. 

 

Exemple : Soit $f(x) = (3x + 1)\times \sqrt{x}$,

la fonction $x \mapsto 3x + 1$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.

Ainsi, $f$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*, \ f'(x) = 3 \times \sqrt{x} + (3x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. 

 

5) Dérivée du quotient de deux fonctions

La dérivée d'un quotient est $\left ( \dfrac{u}{v} \right )' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. La fonction $v$ ne s'annulant pas.

 

Exemple : Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 4}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R} \backslash \{4 \}$,

Pour tout $x$ différent de $4$,

$f'(x) = \dfrac{2(x - 4) - (2x + 1) \times 1}{(x - 4)^2}$. 

$f'(x) = \dfrac{-9}{(x - 4)^2}$.