Première > Mathématiques > Probabilités > Indépendance de deux événements

INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÉNEMENTS

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Indépendance de deux évènements

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Indépendance de deux événements

 

Définition

 

Deux événements sont considérés comme indépendants lorsqu'ils n'ont aucune influence l'un sur l'autre. 

Mathématiquement, deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. 

 

Exemple : 

On lance un dé cubique bien équilibré. On note :

$A = \{ \text{obtenir un résultat pair} \} = \{2, 4, 6 \}$

$B = \{ \text{obtenir un multiple de 3} \} = \{3, 6 \} $

$C = \{ \text{obtenir un résultat supérieur ou égal à 4 } \}= \{4, 5, 6 \}$

 

On calcule la probabilité des événements précédents. 

$P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(C) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

 

On regarde si $A$ et $B$ sont indépendants.

$P(A) \times P(B) =  \dfrac{1}{2} \times  \dfrac{1}{3} =  \dfrac{1}{6}$.

L'événement $A \cap B$ correspond à un résultat pair et multiple de $3$ : c'est à dire $A \cap B = \{ 6 \} $.

Ainsi, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} = P(A) \times P(B)$.

Finalement, $A$ et $B$ sont indépendants.

 

On regarde à présent l'éventuelle indépendance de $A$ et $C$. 

L'événement  $A \cap C$ correspond à $\{4, 6 \}$ c'est à dire des nombres pairs plus grands que $4$. 

Ainsi, $P(A \cap C) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $P(A) \times P(C) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{1}{3}$. 

Donc $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. 

 

Enfin, on prêtera garde au fait que les notions d'indépendance et d'incompatibilité ne sont pas liées. 

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatible si et seulement si $A \cap B = \varnothing$