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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Loi binomiale - Schéma

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Loi binomiale - Schéma

 

Considérons la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac{1}{6}$.

Cela signifie que l'on répète trois fois l'expérience et que la probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$.

Un arbre pondéré est utile pour représenter la loi binomiale. 

 

arbre-binomiale

 

La variable aléatoire associée à la loi binomiale est $X$. Cette dernière permet de compter le nombre de succès.

En considérant le premier chemin par exemple, on rencontre trois fois la lettre $S$ : ainsi, $X  = 3$. 

 

Ainsi, $X$ est compris entre 0 et 3. 

L'arbre permet de calculer des probabilités.

 

Exemple 

Calculons $P(X = 3)$.

En regardant l'arbre, on remarque que cet événement n'a lieu qu'une fois.

Pour obtenir la probabilité associée, il faut alors multiplier entre elles les probabilités inscrites sur les branches parcourues;

$P(X = 3) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{216}$.

 

Calculons de même $P(X = 1)$. L'événement associé a lieu 3 fois. 

Ainsi, $P(X = 1) =\left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} + \left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} +\left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} =3 \times \left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6}$. 

 

Il existe une formule qui permet de simplifier ce calcul. Les calculatrices permettent aussi ces calculs