BOOST PHYSIQUE-CHIMIE - FORCES CONSERVATIVES

I. Travail d’une force constante sur un chemin rectiligne

On a une force $\overrightarrow{F}$ qui s’applique au point $M$ et qui se déplace entre les positions $A$ et $B$. On voit que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et le vecteur $\overrightarrow{F}$ forment un angle $\theta$.

Le travail de la force $\overrightarrow{F}$ sur le chemin $AB$ est égal à : $W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}=\lVert\overrightarrow{F}\rVert \times \lVert\overrightarrow{AB}\rVert \times cos(\theta)$

II. Force conservative

On a le point $M$ qui subit une force $\overrightarrow{P}$ et qui se déplace entre $A$ et $B$.

On a tracé, ici, deux chemins possibles : du point $A$ au point $B$ on peut passer par le chemin bleu noté $C1,$ mais aussi le chemin de $A$ vers $C$ puis vers $B$ noté $C2.$ Il y en a une infinité d’autres mais on en a représenté deux. Une force est dite conservative, si et seulement si, c’est une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi.

Quel que soit le chemin emprunté par le point $M$ pour aller du point $A$ au point $B,$ le travail sera le même.

Par exemple, $\overrightarrow{P} conservatif \iff W_{C1}(\overrightarrow{P} =W_{C2}(\overrightarrow{P}$

III. Cas du poids

On a donc $\overrightarrow{P} = m.\overrightarrow{g}$, avec $\overrightarrow{P}$ la force en Newton (N), m la masse en kilogrammes (kg) et $\overrightarrow{g}$ la constante de pesanteur terrestre qui vaut 9,81 m.s^-2.

On va s’intéresser au travail du poids sur les deux chemins précédents.

$W_{C1}(\overrightarrow{P}) = mg\times AB\times cos(\theta)$. L’angle $\theta$ est aussi l’angle $\widehat{CBA}$

On trouve alors une relation trigonométrique : $cos(\theta) = \dfrac{CB}{AB}$

On peut simplifier le calcul : $W_{C1}(\overrightarrow{P}) = mg\times CB$

Maintenant, intéressons-nous à l’autre chemin, en jaune : $W_{C2}(\overrightarrow{P}) = W_{AC}(\overrightarrow{P}) +W_{CB}(\overrightarrow{P})$

Sur $[AC],$ le travail du poids est nul. Sur $[CB]$, on voit que cette fois-ci, les deux vecteurs sont colinéaires. Ils sont parallèles et vont dans la même direction.

On peut écrire le travail du poids sur $[CB]$ comme égal à $mg \times -CB \times cos(0)$

Donc le travail du poids sur $[CB]$ vaut $W_{C2}(\overrightarrow{P}) = mg\times CB$

Ce qui est identique au travail du poids sur $C1$. C’est justement la définition de la force conservative : le travail ne dépend pas du chemin suivi. Le poids est une force conservative.

On peut noter $CB$ comme étant la différence de coordonnées entre les points $A$ et $B$ sur l’axe $z,$ qu’on peut en fait écrire : $W_{AB}(\overrightarrow{P}) = mg(z_A-z_B)$, avec $(z_A-z_B)$ la différence des altitudes.