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LA MUSIQUE OU L’ART DE FAIRE ENTENDRE LES NOMBRES

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La musique ou l'art de faire entendre les nombres

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La musique ou l'art de faire entendre les nombres

 

Pour faire de la musique, il faut qu’elle soit agréable à l’oreille et cela est régi par des règles mathématiques. On présente ainsi l’aspect mathématique de la musique : les rapports de fréquence qu’on peut faire entre les notes et pourquoi ces rapports sont-ils si importants.

 

I. La musique s’adapte à l’oreille humaine

 

L’oreille humaine est sensible aux rapports de fréquence entre deux sons. Les rapports de fréquences seront définis comme des intervalles. L’intervalle $J$ c’est : $J = \dfrac{f_1}{f_2}$. Ces deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ sont consonantes si l’intervalle $J$ est une fraction entière (c'est-à-dire un nombre entier divisé par un autre nombre entier).

Dans les autres cas, on dit que les deux notes sont dissonantes. Deux des intervalles consonants les plus important dont on va parler ici sont :

- l’octave : intervalle de 2 entre deux notes $J = \dfrac{2}{1}$. Par exemple, une première note a une fréquence de 100 Hz, la seconde a une fréquence de 200 Hz s'il y a une octave.

- la quinte : intervalle de $\dfrac{3}{2}$ entre deux notes $J=\dfrac{3}{2}$. Par exemple, si on prend une note à la fréquence de 100 Hz, la deuxième est à la fréquence de 150 Hz.

 

II. Construire une gamme

 

A. Gamme

Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave. On va choisir une série de notes ayant des fréquences comprises entre $f_1$ et $2f_1$.

 

B. Gamme de Pythagore en 12 notes

On s’intéresse à la gamme de Pythagore. Il y a 12 notes sur cette octave comprises entre $f_1$ et $2f_1$. 

Pythagore a choisi que toutes les notes qu’il crée soient dans un rapport consonant entre elles. Pour faire cela, on part de la fréquence $f_1$ et on construit la note $f_2$ en prenant la quinte de la première note. Cela revient à faire $\dfrac{3}{2}f_1$. Ensuite, on prend la quinte de la deuxième note. On a alors $\dfrac{9}{4}f_1$. La troisième note sort de l’intervalle car on est au-delà de l’octave.

Pythagore divise la fréquence par deux lorsqu’elle sort de l’octave. On a alors $\dfrac{9}{8}f_1$ qui va revenir dans l’intervalle. Et ainsi de suite pour les autres notes. 

 

musique

 

À chaque fois, on a des rapports qui sont des fractions entières donc toutes les notes sont consonantes les unes avec les autres.

 

C. Gamme complète

Voici la gamme complète de Pythagore en 12 notes.

 

musique2

 

On a choisi pour des questions de facilité $f_1 = 100 \ Hz$. On a d’abord le DO à 100 Hz, puis à 107 Hz le DO#, etc. On a construit 12 notes et ce qui est intéressant mais problématique dans la gamme de Pythagore c’est la 13e note. Pythagore voulait que lorsque la gamme est finie, la 13e note tombe exactement sur l’octave. Or, ce n’est pas le cas. La 12e note créée est le FA et lorsqu’on crée la 13e note à partir du FA, on tombe sur une note de fréquence 203 Hz. C’est proche de 200 Hz donc on va forcer cette dernière note à tomber pile sur l’octave.

Or, si on essaye de créer un accord entre le FA et le DO créé, on va avoir quelque chose de dissonant. En effet, on aura plus de fraction entière et donc de consonance. On s’arrange pour créer les partitions sans ces accords-là. Le problème c’est que si on fait cela, la partition ne peut pas être changée de tonalité. Si on change de tonalité, on risque de jouer cet accord-là et cela ne va pas marcher puisque cela va être désagréable à l’oreille. Pour résoudre ce problème, une gamme tempérée a été créée.