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STAGE - LA MUSIQUE OU L'ART DE FAIRE ENTENDRE DES NOMBRES

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Construction de la gamme tempérée

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Construction de la gamme tempérée

 

Il est conseillé de prendre d'abord connaissance du cours « la musique ou l’art de faire entendre les nombres » car il explique comment se construit une gamme pythagoricienne.

 

I. Le problème de la gamme pythagoricienne

 

Sa note finale est dissonante. Il est donc impossible de changer la tonalité d’un morceau musical. Pour remédier à ce problème, on a proposé de construire une autre gamme d’une autre manière qui s’appelle : la gamme tempérée à 12 notes.

 

II. La gamme tempérée à 12 notes

 

Comment construit-on cette gamme ? C’est assez simple : on a une première note DO à une fréquence $f_1$ et on va jusqu’à l’octave suivant de fréquence $2f_1$ qui est aussi un DO.

Entre ces deux DO, on a une succession de 12 notes. L’idée générale de la construction de la gamme est de prendre des intervalles réguliers entre chacune des notes. Donc l’intervalle de fréquence entre le DO et le RE doit être le même qu’entre le RE et le MI, par exemple.

 

gamme-temperee

 

Pour construire les notes, on utilise : $f_2 = Jf_1$, $f_3 = Jf_2 = J\times J\times f_1$.

Si bien que lorsqu’on veut obtenir la dernière note, on a : $f_13 = J\times J \times … \times J \times f_1 = 2f_1$.

$J$ est multiplié 12 fois. On veut retomber exactement pile sur l’octave donc on veut que $f_13 = 2f_1$.

Que vaut $J$ ?

$J$ multiplié 12 fois vaut 2 (en simplifiant les $f_1$ de la formule précédente). On a alors $J^{12}= 2$.

On peut prendre un cas plus simple : $J^2 = 2$. On voudrait la valeur de $J.$ On obtient alors : $J = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

On omet le cas négatif. On voit alors que $J^{12} = 2^{\frac{1}{12}}= 1,05946…$.

L’intervalle définit ici est un irrationnel. Les irrationnels sont des nombres qui peuvent se définir comme la fraction de deux entiers. On a appelé cela les intervalles consonants. Si $J$ est un irrationnel, l’intervalle entre chacune des notes définies par la gamme tempérée est dissonant. Aucun intervalle n’est consonant. C’est très loin de l’idéal pythagoricien !

Ce qui est intéressant dans la gamme tempérée c’est qu’à la fin de la 12e note on retombe exactement sur l’octave. Cela permet de changer la tonalité d’un morceau musical sans avoir la très forte dissonance de la dernière note sur la gamme pythagoricienne. On construit les partitions actuelles sur ces gammes tempérées.