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STAGE - FACTORISER, ÉGALITÉS REMARQUABLES

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Factorisation : exemple

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Factorisation

 

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit (une multiplication donc).

Afin de factoriser une expression, il de s'agit de trouver un facteur commun ou d'utiliser des égalités remarquables.

 

Considérons l'exemple suivant : 
$ A = 4x^2 - 9 + (1 - x)(4x - 6)$.

Ici, il n'est pas conseillé de développer pour factoriser ensuite et il n'est pas possible de trouver un facteur commun directement. 

Il faut plutôt chercher une égalité remarquable, ici il s'agit de $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ avec le terme $4x^2 - 9=(2x)^2-(3)^2$

 

Ainsi :

$A =(2x)^2 - 3^2 + (1 - x)(4x - 6) $

$A= (2x + 3)(2x - 3) + (1 - x)(4x - 6)$. 

Généralement, à la suite de cette étape apparait un facteur commun. Ce n'est cependant pas le cas ici.

Néanmoins, en regardant les termes, on peut remarquer que $4x - 6 = 2(2x - 3)$.

 

Ainsi :

$A = (2x + 3)(2x - 3) + 2(1 - x)(2x - 3)$. Le facteur commun est donc $(2x - 3)$.

On factorise ainsi par ce facteur :

$A = (2x - 3)[(2x + 3) + 2(1 - x)] $

$A= (2x - 3)[2x + 3 + 2 - 2x] $

$A= 5(2x - 3)$