Seconde > Mathématiques > Équations de droites > Vecteur directeur d’une droite, équation cartésienne

VECTEUR DIRECTEUR D’UNE DROITE, ÉQUATION CARTÉSIENNE

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne

 

I) Définition


Soit $(\mathcal{D})$ une droite du plan,

on appelle vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ tout vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ qui possède la même direction que la droite $(\mathcal{D})$. 

Si l'on connait deux points $A$ et $B$ de la droite, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de cette dernière.

69a1f82dbe52c9e7a0efa1cc998fffa0738d7c35.png

Comme le choix de $A$ et $B$ appartenants à le droite est arbitraire, il existe une infinité de vecteurs directeurs. 

Tous ces vecteurs directeurs ont la même direction, celle de $(\mathcal{D})$, ils sont donc colinéaires. 

 

Exemple :

On se place dans un repère.

On appelle $(\mathcal{d})$ la droite passant par les points $A(2;1)$ et $B(1;3)$. On souhaite donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(\mathcal{d})$.

D'après la propriété précédente, on sait que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite, il ne reste donc qu'à calculer ses coordonnées. 

$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$

Donc $\overrightarrow{BA}(1 - 2; 3 - 1)$.

Finalement, un vecteur directeur de $(\mathcal{d})$ est  $\overrightarrow{AB}(-1; 2)$.

 

II ) Equation cartésienne d'une droite

 

Définition

Toute droite $(\mathcal{D})$ admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$.

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite $(\mathcal{D})$. 

 

Théorème 

Un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ est $\overrightarrow{u}(-b; a)$. 

 

Démonstration 

Soit $A(x_A; y_B)$ un point de la droite $(\mathcal{D})$ et $\overrightarrow{u}(\alpha; \beta)$ un vecteur directeur de la droite $(\mathcal{D})$. 

Soit $M$ un point du plan de coordonnées $M(x; y)$,

$M(x; y) \in (\mathcal{D}) $  si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}(x_M - x_A; y_M - y_A)$ et $\overrightarrow{u}(\alpha; \beta)$ sont colinéaires

si et seulement si det($\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{u}) = \left| \begin{array}{cc} x - x_a & \alpha \\ y - y_a & \beta \end{array} \right| = 0$ 

si et seulement $ (x - x_a)\beta - (y - y_a)\alpha = 0$

si et seulement si $\beta x - \alpha y + \alpha y_a - \beta x_a = 0$.

Cette équation peut donc s'écrire $ax + by + c = 0$ avec $\left \{ \begin{array}{l} a = \beta \\ b = - \alpha \\ c = \alpha y_a - \beta x_a \end{array} \right.$

Le vecteur directeur est donc $\overrightarrow{u}(\alpha; \beta) = \overrightarrow{u}(-b; a)$.