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STAGE - INÉQUATION QUOTIENT

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Inéquations quotients

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Inéquations quotients

 

On souhaite résoudre l'inéquation quotient suivante : $\dfrac{(2x + 3)(x -1)}{-x + 4} < 0$.

La première étape consiste, lorsque l'inconnue apparait au dénominateur, à chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur s'annule, même si ce n'est pas clairement indiqué dans l'énoncé. 

On cherche donc $x$ tel que $-x + 4 = 0$ c'est à dire $x = 4$. La valeur interdite est donc le nombre 4.

On présente donc ensuite l'intervalle d'étude de l'inéquation.

Pour tout $x \in \mathbb{R} - \{4\}$, étudions les signes de chaque terme séparément. 

 

$2x + 3 \geq 0 \iff 2x \geq -3 \iff x \geq \dfrac{-3}{2}$

$x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1 $

$-x + 4 \geq 0 \iff -x \geq - 4 \iff x \leq 4$ car multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

 

On complète à présent le tableau de signe.

On écrit dans la première ligne du tableau les valeurs de $x$ particulières que l'on a trouvé précédemment, en les classant par ordre croissant.

On trace ensuite en dessous de ces valeurs un trait verticale.

Enfin, on trace une double valeur verticale en dessous de $x = 4$ sur la ligne du quotient pour indiquer que $x = 4$ est une valeur interdite. 

 

On peut désormais remplir les autres cases du tableau, en indiquant par un $+$ ou un $-$ le signe des expressions sur les intervalles considérés. 

Par exemple $2x + 3 \geq 0$ si $x \geq \dfrac{-3}{2}$, on marque donc un $+$ à droite de $x = \dfrac{-3}{2}$ puis un $-$ de l'autre côté, en indiquant enfin un $0$ sur le trait vertical sous $x = \dfrac{-3}{2}$.

On remplit de même les deux lignes suivantes, à l'aide des calculs faits précédemment. 

Pour remplir la dernière ligne contenant les informations du signe du quotient, on utilise la règle des signes. 

 

inequation_quotient

 

Enfin, il faut encore résoudre l'inéquation : on cherchait les $x$ tels que le quotient soit négatif, on ne garde donc que les intervalles sur lesquels le quotient est de signe $-$.  

 

On prendra garde à ne pas considérer les valeurs de $x$ pour lesquelles le quotient s'annule car l'inéquation utilise une inégalité stricte.
Ainsi, $S = \left ] -\dfrac{3}{2}; 1 \right [ \cup ]4; + \infty [$.