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STAGE - FORMULE D'AL-KASHI

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Formules d'Al. Kashi

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Formules d'Al-Kashi

 

I) Préambule

 

Dans le triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs et la trigonométrie pour calculer des longueurs et des angles. 

Cependant, ces outils ne peuvent être utilisés uniquement dans un triangle rectangle. 

 

II) Formules d'Al-Kashi

Théorème :

Soit $ABC$ un triangle quelconque, on note :

$AB = c$ car $[AB]$ est le côté opposé au sommet $C$.

$CA = b$, $BC = a$, $\widehat{BAC} = \alpha$, $\widehat{ABC} = \beta$, $\widehat{ACB} = \gamma$

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On a les trois égalités suivantes :


$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

 

III) Application

 

Soit $ABC$ un triangle dont certaines dimensions ont été données ci-dessous. 

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1) Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$

On cherche donc une formule qui fait intervenir cet angle :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\times AC\times AB \times \cos(\alpha)$

On isole alors le cosinus de l'angle dont on cherche la valeur :

$\cos(\alpha) = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\times AC \times AB}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{6^2 + 5^2 - 4^2}{2\times 6 \times 5}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{36 + 25 - 16}{60}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{45}{60}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{3 \times 15}{4 \times 15} = \dfrac{3}{4}$

Ainsi, $\alpha = \widehat{BAC} = \arccos(0,75) \approx 41°$ en utilisant la calculatrice.

 

2) Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$

On cherche donc une formule qui fait intervenir cet angle :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2\times AC \times BC \times \cos(\gamma)$

On isole alors le cosinus de l'angle dont on cherche la valeur :

$\cos(\gamma) = \dfrac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2\times AC \times BC}$

$\cos(\gamma) = \dfrac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2\times 4 \times 5}$

$\cos(\gamma) = \dfrac{16 + 25 - 36}{40}$

$\cos(\gamma) = \dfrac{5}{40}$

$\cos(\gamma) = \dfrac{5 \times 1}{8 \times 5} = \dfrac{1}{8}$

Ainsi, $\gamma = \widehat{ACB} = \arccos(0,125) \approx 83°$ en utilisant la calculatrice.